MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausflim 22517
Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcf.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausflim (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐽   𝑓,𝑋,𝑥

Proof of Theorem hausflim
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21867 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 hausflimi 22516 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
32ralrimivw 3180 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
41, 3jca 512 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
5 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ Top)
6 flimcf.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = 𝐽
76toptopon 21453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑧𝑋)
109snssd 4734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ⊆ 𝑋)
11 snnzg 4702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → {𝑧} ≠ ∅)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ≠ ∅)
13 neifil 22416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑧} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑧} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
148, 10, 12, 13syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
15 filfbas 22384 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
17 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑤𝑋)
1817snssd 4734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ⊆ 𝑋)
19 snnzg 4702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝑋 → {𝑤} ≠ ∅)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ≠ ∅)
21 neifil 22416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑤} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑤} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
228, 18, 20, 21syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
23 filfbas 22384 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
25 fbunfip 22405 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
2616, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
276neisspw 21643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ 𝒫 𝑋)
286neisspw 21643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ 𝒫 𝑋)
2927, 28unssd 4159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋))
32 ssun1 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))
33 filn0 22398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
35 ssn0 4351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3632, 34, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3736a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅))
38 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
3931, 37, 383jcad 1121 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
406topopn 21442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑋𝐽)
42 fsubbas 22403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐽 → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
44 fgcl 22414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
46 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑤)
479adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑋)
4817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤𝑋)
49 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V
50 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ V
5149, 50unex 7458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V
52 ssfii 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))
54 ssfg 22408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5653, 55sstrid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5732, 56sstrid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
588adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
59 elflim 22507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6058, 45, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6147, 57, 60mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
6256unssbd 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
63 elflim 22507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6458, 45, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6548, 62, 64mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
66 eleq1w 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
67 eleq1w 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6866, 67moi 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → 𝑧 = 𝑤)
69683com23 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → 𝑧 = 𝑤)
70693expia 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7147, 48, 61, 65, 70syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7271necon3ad 3026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧𝑤 → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7346, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
74 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
7574eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7675mobidv 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7776notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7877rspcev 3620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
7945, 73, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
8079ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8143, 80sylbird 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8239, 81syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8326, 82sylbird 261 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
84 df-ne 3014 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
8584ralbii 3162 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
86 ralnex 3233 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8785, 86bitri 276 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8887ralbii 3162 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
89 ralnex 3233 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9088, 89bitri 276 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
91 rexnal 3235 . . . . . . . . 9 (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
9283, 90, 913imtr3g 296 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ → ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
9392con4d 115 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9493imp 407 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9594an32s 648 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9695expr 457 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9796ralrimivva 3188 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
98 simpl 483 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Top)
9998, 7sylib 219 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
100 hausnei2 21889 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10199, 100syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10297, 101mpbird 258 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Haus)
1034, 102impbii 210 1 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  ∃*wmo 2613  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830  cfv 6348  (class class class)co 7145  ficfi 8862  fBascfbas 20461  filGencfg 20462  Topctop 21429  TopOnctopon 21446  neicnei 21633  Hauscha 21844  Filcfil 22381   fLim cflim 22470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-top 21430  df-topon 21447  df-nei 21634  df-haus 21851  df-fil 22382  df-flim 22475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator