MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haust1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haust1 21066
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)

Proof of Theorem haust1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
21hausnei 21042 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))
3 simprr1 1107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → 𝑥𝑧)
4 noel 3895 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑦 ∈ ∅
5 simprr3 1109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑧𝑤) = ∅)
65eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑦 ∈ (𝑧𝑤) ↔ 𝑦 ∈ ∅))
74, 6mtbiri 317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑧𝑤))
8 simprr2 1108 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → 𝑦𝑤)
9 elin 3774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑧𝑤) ↔ (𝑦𝑧𝑦𝑤))
109simplbi2com 656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑤 → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝑧𝑤)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝑧𝑤)))
127, 11mtod 189 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → ¬ 𝑦𝑧)
133, 12jca 554 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) ∧ (𝑤𝐽 ∧ (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))) → (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧))
1413rexlimdvaa 3025 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) ∧ 𝑧𝐽) → (∃𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅) → (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧)))
1514reximdva 3011 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → (∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧)))
162, 15mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧))
17 rexanali 2992 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐽 (𝑥𝑧 ∧ ¬ 𝑦𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧))
1816, 17sylib 208 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑥𝑦)) → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧))
19183exp2 1282 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus → (𝑥 𝐽 → (𝑦 𝐽 → (𝑥𝑦 → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧)))))
2019imp32 449 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥𝑦 → ¬ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧)))
2120necon4ad 2809 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
2221ralrimivva 2965 . 2 (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
23 haustop 21045 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
241toptopon 20648 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2523, 24sylib 208 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
26 ist1-2 21061 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Fre ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
2725, 26syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝐽 ∈ Fre ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
2822, 27mpbird 247 1 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cin 3554  c0 3891   cuni 4402  cfv 5847  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  Frect1 21021  Hauscha 21022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-topgen 16025  df-top 20621  df-topon 20623  df-cld 20733  df-t1 21028  df-haus 21029
This theorem is referenced by:  sncld  21085  ishaus3  21536  reghaus  21538  nrmhaus  21539  tgpt1  21831  metreg  22574  ipasslem8  27538  sitmcl  30191  onint1  32087  oninhaus  32088  poimirlem30  33068
  Copyright terms: Public domain W3C validator