Theorem haustsms2 22739

Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
haustsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsms.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsms2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Proof of Theorem haustsms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2		tsmscl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmscl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmscl.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		tsmscl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmscl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		haustsms.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8		haustsms.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	haustsms 22738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	9	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
11		eleq1 2900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
12	11	moi2 3706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
13	12	ancom2s 648	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
14	13	expr 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
15	1, 10, 1, 14	syl21anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
16		velsn 4576	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
17	15, 16	syl6ibr 254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 ∈ {𝑋}))
18	17	ssrdv 3972	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ {𝑋})
19		snssi 4734	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
20	19	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
21	18, 20	eqssd 3983	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋})
22	21	ex 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃*wmo 2616   ⊆ wss 3935  {csn 4560  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  TopOpenctopn 16689  CMndccmn 18900  TopSpctps 21534  Hauscha 21910   tsums ctsu 22728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-nei 21700  df-haus 21917  df-fil 22448  df-flim 22541  df-flf 22542  df-tsms 22729

This theorem is referenced by:  haustsmsid  22743  xrge0tsms  23436  xrge0tsmsd  30687