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Theorem hbimpgVD 39454
Description: Virtual deduction proof of hbimpg 39087. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbimpg 39087 is hbimpgVD 39454 without virtual deductions and was automatically derived from hbimpgVD 39454. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
1:: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 𝑥𝜓))   )
2:1: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
3:: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   ¬ 𝜑   )
4:2: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝑥𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
5:4: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
6:3,5: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   𝑥¬ 𝜑   )
7:: 𝜑 → (𝜑𝜓))
8:7: (∀𝑥¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑𝜓))
9:6,8: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)), ¬ 𝜑   ▶   𝑥(𝜑𝜓)   )
10:9: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝜑 → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
11:: (𝜓 → (𝜑𝜓))
12:11: (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓))
13:1: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
14:13: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
15:14,12: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
16:10,15: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((¬ 𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
17:: ((𝜑𝜓) ↔ (¬ 𝜑𝜓))
18:16,17: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
19:: (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥𝑥( 𝜑 → ∀𝑥𝜑))
20:: (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥𝑥( 𝜓 → ∀𝑥𝜓))
21:19,20: ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 𝑥𝜓)))
22:21,18: (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝑥((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
qed:22: ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)))
Assertion
Ref Expression
hbimpgVD ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)))

Proof of Theorem hbimpgVD
StepHypRef Expression
1 hba1 2189 . . . 4 (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2 hba1 2189 . . . 4 (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ∀𝑥𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
31, 2hban 2166 . . 3 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)))
4 idn2 39155 . . . . . . . 8 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶    ¬ 𝜑   )
5 idn1 39107 . . . . . . . . . . 11 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   )
6 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
75, 6e1a 39169 . . . . . . . . . 10 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
8 hbntal 39086 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
97, 8e1a 39169 . . . . . . . . 9 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝑥𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
10 sp 2091 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → (¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
119, 10e1a 39169 . . . . . . . 8 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
12 pm2.27 42 . . . . . . . 8 𝜑 → ((¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
134, 11, 12e21 39274 . . . . . . 7 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶   𝑥 ¬ 𝜑   )
14 pm2.21 120 . . . . . . . 8 𝜑 → (𝜑𝜓))
1514alimi 1779 . . . . . . 7 (∀𝑥 ¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑𝜓))
1613, 15e2 39173 . . . . . 6 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ,    ¬ 𝜑   ▶   𝑥(𝜑𝜓)   )
1716in2 39147 . . . . 5 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝜑 → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
18 simpr 476 . . . . . . . 8 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
195, 18e1a 39169 . . . . . . 7 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
20 sp 2091 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
2119, 20e1a 39169 . . . . . 6 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
22 ax-1 6 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝜑𝜓))
2322alimi 1779 . . . . . 6 (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓))
24 imim1 83 . . . . . 6 ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓)) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓))))
2521, 23, 24e10 39236 . . . . 5 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   (𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
26 jao 533 . . . . 5 ((¬ 𝜑 → ∀𝑥(𝜑𝜓)) → ((𝜓 → ∀𝑥(𝜑𝜓)) → ((¬ 𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))))
2717, 25, 26e11 39230 . . . 4 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((¬ 𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
28 imor 427 . . . 4 ((𝜑𝜓) ↔ (¬ 𝜑𝜓))
29 imbi1 336 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ↔ (¬ 𝜑𝜓)) → (((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)) ↔ ((¬ 𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))))
3029biimprcd 240 . . . 4 (((¬ 𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)) → (((𝜑𝜓) ↔ (¬ 𝜑𝜓)) → ((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))))
3127, 28, 30e10 39236 . . 3 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   ((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
323, 31gen11nv 39159 . 2 (   (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))   ▶   𝑥((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓))   )
3332in1 39104 1 ((∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ∧ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)) → ∀𝑥((𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wal 1521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-10 2059  ax-12 2087
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-vd1 39103  df-vd2 39111
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