Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hbtlem5 38015
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
hbtlem.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
hbtlem3.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
hbtlem3.i (𝜑𝐼𝑈)
hbtlem3.j (𝜑𝐽𝑈)
hbtlem3.ij (𝜑𝐼𝐽)
hbtlem5.e (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hbtlem5 (𝜑𝐼 = 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2 (𝜑𝐼𝐽)
2 hbtlem3.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽𝑈)
3 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 hbtlem.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
53, 4lidlss 19258 . . . . . . . . 9 (𝐽𝑈𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
62, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
76sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
8 eqid 2651 . . . . . . . 8 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
9 hbtlem.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
108, 9, 3deg1cl 23888 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
117, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐽) → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
12 elun 3786 . . . . . . 7 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞}))
13 nnssnn0 11333 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ ℕ0
14 nn0re 11339 . . . . . . . . . 10 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℝ)
15 arch 11327 . . . . . . . . . 10 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
17 ssrexv 3700 . . . . . . . . 9 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℕ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏))
1813, 16, 17mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
19 elsni 4227 . . . . . . . . 9 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞} → (( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞)
20 0nn0 11345 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
21 mnflt0 11997 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
22 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 0 → (-∞ < 𝑏 ↔ -∞ < 0))
2322rspcev 3340 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℕ0 ∧ -∞ < 0) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏)
2420, 21, 23mp2an 708 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏
25 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ -∞ < 𝑏))
2625rexbidv 3081 . . . . . . . . . 10 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 -∞ < 𝑏))
2724, 26mpbiri 248 . . . . . . . . 9 ((( deg1𝑅)‘𝑎) = -∞ → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
2819, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞} → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
2918, 28jaoi 393 . . . . . . 7 (((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ ℕ0 ∨ (( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ {-∞}) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
3012, 29sylbi 207 . . . . . 6 ((( deg1𝑅)‘𝑎) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
3111, 30syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐽) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏)
32 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 0))
3332imbi1d 330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 0 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼)))
3433ralbidv 3015 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 0 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼)))
3534imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))))
36 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑏 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏))
3736imbi1d 330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑏 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
3837ralbidv 3015 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
3938imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
40 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝑏 + 1) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1)))
4140imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼)))
4241ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼)))
43 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑑 → (( deg1𝑅)‘𝑎) = (( deg1𝑅)‘𝑑))
4443breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1)))
45 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎𝐼𝑑𝐼))
4644, 45imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼)))
4746cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < (𝑏 + 1) → 𝑎𝐼) ↔ ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
4842, 47syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑏 + 1) → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼) ↔ ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼)))
4948imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑐𝑎𝐼)) ↔ (𝜑 → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
50 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
52 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑃) = (0g𝑃)
538, 9, 52, 3deg1lt0 23896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 ↔ 𝑎 = (0g𝑃)))
5451, 7, 53syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 ↔ 𝑎 = (0g𝑃)))
559ply1ring 19666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
57 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼𝑈)
584, 52lidl0cl 19260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
5956, 57, 58syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝐼)
60 eleq1a 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0g𝑃) ∈ 𝐼 → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐽) → (𝑎 = (0g𝑃) → 𝑎𝐼))
6354, 62sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))
6463ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 0 → 𝑎𝐼))
6563ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
6665sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑃))
678, 9, 3deg1cl 23888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (Base‘𝑃) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
69 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑏 ∈ ℕ0)
7069nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → 𝑏 ∈ ℤ)
71 degltp1le 23878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( deg1𝑅)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
7268, 70, 71syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
73 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥))
74 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑆𝐽)‘𝑥) = ((𝑆𝐽)‘𝑏))
75 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑆𝐼)‘𝑥) = ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7674, 75sseq12d 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑏 → (((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥) ↔ ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏)))
7776rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑆𝐽)‘𝑥) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑥)) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7873, 77sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) ⊆ ((𝑆𝐼)‘𝑏))
7950adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
802adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝐽𝑈)
81 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝑏 ∈ ℕ0)
82 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
839, 4, 82, 8hbtlem1 38010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽𝑈𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8479, 80, 81, 83syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐽)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8557adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → 𝐼𝑈)
869, 4, 82, 8hbtlem1 38010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐼)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8779, 85, 81, 86syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → ((𝑆𝐼)‘𝑏) = {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
8878, 84, 873sstr3d 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
89883adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ⊆ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
91 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → 𝑑𝐽)
92 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)
93 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))
94 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = 𝑑 → (( deg1𝑅)‘𝑒) = (( deg1𝑅)‘𝑑))
9594breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = 𝑑 → ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ↔ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏))
96 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = 𝑑 → (coe1𝑒) = (coe1𝑑))
9796fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = 𝑑 → ((coe1𝑒)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))
9897eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = 𝑑 → (((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏) ↔ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏)))
9995, 98anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑑 → (((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))))
10099rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑𝐽 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑑)‘𝑏))) → ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
10191, 92, 93, 100syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
102 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ V
103 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏) ↔ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
104103anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
105104rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
106102, 105elab 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ↔ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
107101, 106sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
10990, 108sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → ((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))})
110104rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = ((coe1𝑑)‘𝑏) → (∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏)) ↔ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))))
111102, 110elab 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} ↔ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))
112 simpll2 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝜑)
113112, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑃 ∈ Ring)
114 ringgrp 18598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑃 ∈ Grp)
116112, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑃))
117 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑𝐽)
118116, 117sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑃))
1193, 4lidlss 19258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
12057, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
122 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒𝐼)
123121, 122sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑃))
124 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (+g𝑃) = (+g𝑃)
125 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-g𝑃) = (-g𝑃)
1263, 124, 125grpnpcan 17554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) = 𝑑)
127115, 118, 123, 126syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) = 𝑑)
128573ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐼𝑈)
129128ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼𝑈)
130 simpll1 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℕ0)
131112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑅 ∈ Ring)
132 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)
133 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏)
134 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (coe1𝑑) = (coe1𝑑)
135 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (coe1𝑒) = (coe1𝑒)
136 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏))
1378, 9, 3, 125, 130, 131, 118, 132, 123, 133, 134, 135, 136deg1sublt 23915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏)
138112, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐽𝑈)
13913ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → 𝐼𝐽)
140139ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝐼𝐽)
141140, 122sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑒𝐽)
1424, 125lidlsubcl 19264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐽𝑈) ∧ (𝑑𝐽𝑒𝐽)) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽)
143113, 138, 117, 141, 142syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽)
144 simpll3 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))
145 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (( deg1𝑅)‘𝑎) = (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)))
146145breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏 ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏))
147 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (𝑎𝐼 ↔ (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
148146, 147imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = (𝑑(-g𝑃)𝑒) → (((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) ↔ ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)))
149148rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
150143, 144, 149syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((( deg1𝑅)‘(𝑑(-g𝑃)𝑒)) < 𝑏 → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼))
151137, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → (𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
1524, 124lidlacl 19261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ((𝑑(-g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼𝑒𝐼)) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
153113, 129, 151, 122, 152syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → ((𝑑(-g𝑃)𝑒)(+g𝑃)𝑒) ∈ 𝐼)
154127, 153eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) ∧ (𝑒𝐼 ∧ ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)))) → 𝑑𝐼)
155154rexlimdvaa 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → (∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏 ∧ ((coe1𝑑)‘𝑏) = ((coe1𝑒)‘𝑏)) → 𝑑𝐼))
156111, 155syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → (((coe1𝑑)‘𝑏) ∈ {𝑐 ∣ ∃𝑒𝐼 ((( deg1𝑅)‘𝑒) ≤ 𝑏𝑐 = ((coe1𝑒)‘𝑏))} → 𝑑𝐼))
157109, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ (𝑑𝐽 ∧ (( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏)) → 𝑑𝐼)
158157expr 642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) ≤ 𝑏𝑑𝐼))
15972, 158sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) ∧ 𝑑𝐽) → ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
160159ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))
1611603exp 1283 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
162161a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)) → (𝜑 → ∀𝑑𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑑) < (𝑏 + 1) → 𝑑𝐼))))
16335, 39, 49, 39, 64, 162nn0ind 11510 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
164 rsp 2958 . . . . . . . . 9 (∀𝑎𝐽 ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼) → (𝑎𝐽 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
165163, 164syl6com 37 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑎𝐽 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
166165com23 86 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎𝐽 → (𝑏 ∈ ℕ0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))))
167166imp 444 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐽) → (𝑏 ∈ ℕ0 → ((( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼)))
168167rexlimdv 3059 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐽) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (( deg1𝑅)‘𝑎) < 𝑏𝑎𝐼))
16931, 168mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐽) → 𝑎𝐼)
170169ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑎𝐽𝑎𝐼))
171170ssrdv 3642 . 2 (𝜑𝐽𝐼)
1721, 171eqssd 3653 1 (𝜑𝐼 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wral 2941  wrex 2942  cun 3605  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  -∞cmnf 10110   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  Ringcrg 18593  LIdealclidl 19218  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596   deg1 cdg1 23859  ldgIdlSeqcldgis 38008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rlreg 19331  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601  df-cnfld 19795  df-mdeg 23860  df-deg1 23861  df-ldgis 38009
This theorem is referenced by:  hbt  38017
  Copyright terms: Public domain W3C validator