Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap11 35941
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12d.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12d.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap12d.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmap12d.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap11 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap12d.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap12d.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2609 . . . . 5 (-g𝑈) = (-g𝑈)
5 eqid 2609 . . . . 5 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2609 . . . . 5 (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7 hdmap12d.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap12d.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 hdmap12d.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
10 hdmap12d.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 35940 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = ((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)))
1211eqeq1d 2611 . . 3 (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
13 eqid 2609 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
14 eqid 2609 . . . 4 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
151, 2, 8dvhlmod 35200 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
163, 4lmodvsubcl 18679 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋(-g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
1715, 9, 10, 16syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(-g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 35937 . . 3 (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈)))
191, 5, 8lcdlmod 35682 . . . . 5 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
20 lmodgrp 18641 . . . . 5 (((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
22 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 35923 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 35923 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2522, 14, 6grpsubeq0 17272 . . . 4 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑆𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → (((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆𝑋) = (𝑆𝑌)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆𝑋) = (𝑆𝑌)))
2712, 18, 263bitr3rd 297 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ (𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈)))
28 lmodgrp 18641 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
2915, 28syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
303, 13, 4grpsubeq0 17272 . . 3 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
3129, 9, 10, 30syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → ((𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
3227, 31bitrd 266 1 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  0gc0g 15871  Grpcgrp 17193  -gcsg 17195  LModclmod 18634  HLchlt 33438  LHypclh 34071  DVecHcdvh 35168  LCDualclcd 35676  HDMapchdma 35883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-0g 15873  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-subg 17362  df-cntz 17521  df-oppg 17547  df-lsm 17822  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-drng 18520  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-lsp 18741  df-lvec 18872  df-lsatoms 33064  df-lshyp 33065  df-lcv 33107  df-lfl 33146  df-lkr 33174  df-ldual 33212  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-llines 33585  df-lplanes 33586  df-lvols 33587  df-lines 33588  df-psubsp 33590  df-pmap 33591  df-padd 33883  df-lhyp 34075  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192  df-trl 34247  df-tgrp 34832  df-tendo 34844  df-edring 34846  df-dveca 35092  df-disoa 35119  df-dvech 35169  df-dib 35229  df-dic 35263  df-dih 35319  df-doch 35438  df-djh 35485  df-lcdual 35677  df-mapd 35715  df-hvmap 35847  df-hdmap1 35884  df-hdmap 35885
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  35958  hgmap11  35995
  Copyright terms: Public domain W3C validator