Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap11 37640
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12d.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12d.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap12d.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmap12d.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap11 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap12d.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap12d.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2758 . . . . 5 (-g𝑈) = (-g𝑈)
5 eqid 2758 . . . . 5 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2758 . . . . 5 (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7 hdmap12d.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap12d.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 hdmap12d.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
10 hdmap12d.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 37639 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = ((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)))
1211eqeq1d 2760 . . 3 (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
13 eqid 2758 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
14 eqid 2758 . . . 4 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
151, 2, 8dvhlmod 36899 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
163, 4lmodvsubcl 19108 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋(-g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
1715, 9, 10, 16syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(-g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 37636 . . 3 (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈)))
191, 5, 8lcdlmod 37381 . . . . 5 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
20 lmodgrp 19070 . . . . 5 (((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
22 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 37622 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 37622 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2522, 14, 6grpsubeq0 17700 . . . 4 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑆𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → (((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆𝑋) = (𝑆𝑌)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆𝑋) = (𝑆𝑌)))
2712, 18, 263bitr3rd 299 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ (𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈)))
28 lmodgrp 19070 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
2915, 28syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
303, 13, 4grpsubeq0 17700 . . 3 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
3129, 9, 10, 30syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
3227, 31bitrd 268 1 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  0gc0g 16300  Grpcgrp 17621  -gcsg 17623  LModclmod 19063  HLchlt 35138  LHypclh 35771  DVecHcdvh 36867  LCDualclcd 37375  HDMapchdma 37582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-riotaBAD 34740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-ot 4328  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-tpos 7519  df-undef 7566  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-0g 16302  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-preset 17127  df-poset 17145  df-plt 17157  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-p0 17238  df-p1 17239  df-lat 17245  df-clat 17307  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-oppg 17974  df-lsm 18249  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-drng 18949  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19172  df-lvec 19303  df-lsatoms 34764  df-lshyp 34765  df-lcv 34807  df-lfl 34846  df-lkr 34874  df-ldual 34912  df-oposet 34964  df-ol 34966  df-oml 34967  df-covers 35054  df-ats 35055  df-atl 35086  df-cvlat 35110  df-hlat 35139  df-llines 35285  df-lplanes 35286  df-lvols 35287  df-lines 35288  df-psubsp 35290  df-pmap 35291  df-padd 35583  df-lhyp 35775  df-laut 35776  df-ldil 35891  df-ltrn 35892  df-trl 35947  df-tgrp 36531  df-tendo 36543  df-edring 36545  df-dveca 36791  df-disoa 36818  df-dvech 36868  df-dib 36928  df-dic 36962  df-dih 37018  df-doch 37137  df-djh 37184  df-lcdual 37376  df-mapd 37414  df-hvmap 37546  df-hdmap1 37583  df-hdmap 37584
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  37657  hgmap11  37694
  Copyright terms: Public domain W3C validator