Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap11lem1 35949
Description: Lemma for hdmapadd 35951. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap11.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap11.p + = (+g𝑈)
hdmap11.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.a = (+g𝐶)
hdmap11.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap11.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmap11.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmap11.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmap11.o 0 = (0g𝑈)
hdmap11.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap11.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap11.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap11.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11lem0.1a (𝜑𝑧𝑉)
hdmap11lem0.6 (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
hdmap11lem0.2a (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
Assertion
Ref Expression
hdmap11lem1 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))

Proof of Theorem hdmap11lem1
StepHypRef Expression
1 hdmap11.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap11.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap11.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap11.p . . 3 + = (+g𝑈)
5 hdmap11.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 hdmap11.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap11.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap11.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hdmap11.a . . 3 = (+g𝐶)
10 hdmap11.l . . 3 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
11 hdmap11.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
12 hdmap11.i . . 3 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap11.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14 eqid 2604 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
15 hdmap11.j . . . . . 6 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
16 eqid 2604 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17 eqid 2604 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 hdmap11.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
191, 16, 17, 2, 3, 5, 18, 13dvheveccl 35217 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
201, 2, 3, 5, 7, 8, 14, 15, 13, 19hvmapcl2 35871 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
2120eldifad 3546 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ 𝐷)
221, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 15, 13, 19mapdhvmap 35874 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝐸})) = (𝐿‘{(𝐽𝐸)}))
23 hdmap11lem0.2a . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
2423necomd 2831 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
25 hdmap11lem0.1a . . . 4 (𝜑𝑧𝑉)
261, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 21, 22, 24, 19, 25hdmap1cl 35910 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
27 eqid 2604 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
281, 2, 13dvhlmod 35215 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
29 hdmap11.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
30 hdmap11.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
313, 27, 6, 28, 29, 30lspprcl 18740 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32 hdmap11lem0.6 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
333, 5, 27, 28, 31, 25, 32lssneln0 18714 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34 eqidd 2605 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩))
35 eqid 2604 . . . . . 6 (-g𝑈) = (-g𝑈)
36 eqid 2604 . . . . . 6 (-g𝐶) = (-g𝐶)
371, 2, 3, 35, 5, 6, 7, 8, 36, 10, 11, 12, 13, 19, 21, 33, 26, 24, 22hdmap1eq 35907 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑧)})) = (𝐿‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩))}))))
3834, 37mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑧)})) = (𝐿‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩))})))
3938simpld 473 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩)}))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 26, 33, 29, 30, 32, 39hdmap1l6 35927 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩), (𝑋 + 𝑌)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩), 𝑋⟩) (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩), 𝑌⟩)))
41 hdmap11.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
423, 4lmodvacl 18641 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
4328, 29, 30, 42syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
441, 2, 13dvhlvec 35214 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4519eldifad 3546 . . . 4 (𝜑𝐸𝑉)
463, 4, 6, 28, 29, 30lspprvacl 18761 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4727, 6, 28, 31, 46lspsnel5a 18758 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4847, 32ssneldd 3565 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
493, 6, 28, 25, 43, 48lspsnne2 18880 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
503, 6, 5, 44, 45, 43, 33, 23, 49hdmaplem4 35879 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
511, 18, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 12, 41, 13, 43, 25, 50hdmapval2 35940 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩), (𝑋 + 𝑌)⟩))
523, 6, 44, 25, 29, 30, 32lspindpi 18894 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
5352simpld 473 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
543, 6, 5, 44, 45, 29, 33, 23, 53hdmaplem4 35879 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
551, 18, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 12, 41, 13, 29, 25, 54hdmapval2 35940 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩), 𝑋⟩))
5652simprd 477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
573, 6, 5, 44, 45, 30, 33, 23, 56hdmaplem4 35879 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
581, 18, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 12, 41, 13, 30, 25, 57hdmapval2 35940 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑌) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩), 𝑌⟩))
5955, 58oveq12d 6540 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)) = ((𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩), 𝑋⟩) (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑧⟩), 𝑌⟩)))
6040, 51, 593eqtr4d 2648 1 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  {csn 4119  {cpr 4121  cop 4125  cotp 4127   I cid 4933  cres 5025  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  +gcplusg 15709  0gc0g 15864  -gcsg 17188  LModclmod 18627  LSubSpclss 18694  LSpanclspn 18733  HLchlt 33453  LHypclh 34086  LTrncltrn 34203  DVecHcdvh 35183  LCDualclcd 35691  mapdcmpd 35729  HVMapchvm 35861  HDMap1chdma1 35897  HDMapchdma 35898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-riotaBAD 33055
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-ot 4128  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-undef 7258  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-0g 15866  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-subg 17355  df-cntz 17514  df-oppg 17540  df-lsm 17815  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447  df-drng 18513  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-lvec 18865  df-lsatoms 33079  df-lshyp 33080  df-lcv 33122  df-lfl 33161  df-lkr 33189  df-ldual 33227  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-llines 33600  df-lplanes 33601  df-lvols 33602  df-lines 33603  df-psubsp 33605  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-lhyp 34090  df-laut 34091  df-ldil 34206  df-ltrn 34207  df-trl 34262  df-tgrp 34847  df-tendo 34859  df-edring 34861  df-dveca 35107  df-disoa 35134  df-dvech 35184  df-dib 35244  df-dic 35278  df-dih 35334  df-doch 35453  df-djh 35500  df-lcdual 35692  df-mapd 35730  df-hvmap 35862  df-hdmap1 35899  df-hdmap 35900
This theorem is referenced by:  hdmap11lem2  35950
  Copyright terms: Public domain W3C validator