Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem10 35970
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 line 38. (Contributed by NM, 3-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
hdmap14lem8.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem10 (𝜑𝐺 = 𝐼)

Proof of Theorem hdmap14lem10
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem8.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem8.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap14lem8.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
5 hdmap14lem8.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 hdmap14lem8.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 hdmap14lem8.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap14lem8.e . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
9 eqid 2609 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
10 hdmap14lem8.p . . 3 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
11 hdmap14lem8.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝑃)
12 hdmap14lem8.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap14lem8.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
141, 2, 13dvhlmod 35200 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
15 hdmap14lem8.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3551 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
17 hdmap14lem8.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1817eldifad 3551 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
19 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+g𝑈)
203, 19lmodvacl 18648 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2114, 16, 18, 20syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
22 hdmap14lem8.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 22hdmap14lem2a 35960 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
24 hdmap14lem8.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
25 hdmap14lem8.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
26 hdmap14lem8.d . . . 4 = (+g𝐶)
27133ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28153ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29173ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30223ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐹𝐵)
31 hdmap14lem8.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐴)
32313ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐺𝐴)
33 hdmap14lem8.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝐴)
34333ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐼𝐴)
35 hdmap14lem8.xx . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
36353ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
37 hdmap14lem8.yy . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
38373ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
39 hdmap14lem8.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40393ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
41 simp2 1054 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑔𝐴)
42 simp3 1055 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
431, 2, 3, 19, 4, 24, 25, 5, 6, 7, 26, 8, 10, 11, 12, 27, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 41, 42hdmap14lem9 35969 . . 3 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐺 = 𝐼)
4443rexlimdv3a 3014 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) → 𝐺 = 𝐼))
4523, 44mpd 15 1 (𝜑𝐺 = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cdif 3536  {csn 4124  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  Scalarcsca 15719   ·𝑠 cvsca 15720  0gc0g 15871  LModclmod 18634  LSpanclspn 18740  HLchlt 33438  LHypclh 34071  DVecHcdvh 35168  LCDualclcd 35676  HDMapchdma 35883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-0g 15873  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-subg 17362  df-cntz 17521  df-oppg 17547  df-lsm 17822  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-drng 18520  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-lsp 18741  df-lvec 18872  df-lsatoms 33064  df-lshyp 33065  df-lcv 33107  df-lfl 33146  df-lkr 33174  df-ldual 33212  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-llines 33585  df-lplanes 33586  df-lvols 33587  df-lines 33588  df-psubsp 33590  df-pmap 33591  df-padd 33883  df-lhyp 34075  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192  df-trl 34247  df-tgrp 34832  df-tendo 34844  df-edring 34846  df-dveca 35092  df-disoa 35119  df-dvech 35169  df-dib 35229  df-dic 35263  df-dih 35319  df-doch 35438  df-djh 35485  df-lcdual 35677  df-mapd 35715  df-hvmap 35847  df-hdmap1 35884  df-hdmap 35885
This theorem is referenced by:  hdmap14lem11  35971
  Copyright terms: Public domain W3C validator