Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem12 37488
 Description: Lemma for proof of part 14 in [Baer] p. 50. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem12.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem12.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem12.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem12.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem12.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem12.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem12.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem12.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem12.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem12.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem12.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem12.g (𝜑𝐺𝐴)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem12 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝑆   𝑦, ·   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐻(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem hdmap14lem12
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem12.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem12.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap14lem12.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
5 hdmap14lem12.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 hdmap14lem12.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 hdmap14lem12.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap14lem12.e . . . . . 6 = ( ·𝑠𝐶)
9 eqid 2651 . . . . . 6 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
10 hdmap14lem12.p . . . . . 6 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
11 hdmap14lem12.a . . . . . 6 𝐴 = (Base‘𝑃)
12 hdmap14lem12.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap14lem12.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14133ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3619 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑦𝑉)
17 hdmap14lem12.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
18173ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝐹𝐵)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18hdmap14lem2a 37476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦)))
20 simp3 1083 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦)))
21 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (+g𝑈) = (+g𝑈)
22 hdmap14lem12.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
23 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
24 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (+g𝐶) = (+g𝐶)
25 simp11 1111 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → 𝜑)
2625, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
27 hdmap14lem12.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2825, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29 simp13 1113 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3025, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → 𝐹𝐵)
31 hdmap14lem12.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐴)
3225, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → 𝐺𝐴)
33 simp2 1082 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → 𝑔𝐴)
34 simp12 1112 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
351, 2, 3, 21, 4, 22, 23, 5, 6, 7, 24, 8, 10, 11, 12, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 20hdmap14lem11 37487 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → 𝐺 = 𝑔)
3635oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → (𝐺 (𝑆𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦)))
3720, 36eqtr4d 2688 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)))
3837rexlimdv3a 3062 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 (𝑆𝑦)) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
3919, 38mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)))
40393expia 1286 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋))) → (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
4140ralrimiv 2994 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋))) → ∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)))
42 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝐹 · 𝑦) = (𝐹 · 𝑋))
4342fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)))
44 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑆𝑦) = (𝑆𝑋))
4544oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → (𝐺 (𝑆𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
4643, 45eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋))))
4746rspcv 3336 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋))))
4827, 47syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋))))
4948imp 444 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
5041, 49impbida 895 1 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  LSpanclspn 19019  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  LCDualclcd 37192  HDMapchdma 37399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lcv 34624  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001  df-lcdual 37193  df-mapd 37231  df-hvmap 37363  df-hdmap1 37400  df-hdmap 37401 This theorem is referenced by:  hdmap14lem13  37489
 Copyright terms: Public domain W3C validator