Theorem hdmap14lem3 35980

Description: Prior to part 14 in [Baer] p. 49, line 26. (Contributed by NM, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
hdmap14lem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem2.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap14lem2.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem2.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑃)
hdmap14lem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   ∙ ,𝑔   𝑔,𝐹   𝑄,𝑔   𝑆,𝑔   · ,𝑔   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)   0 (𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem1.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmap14lem3.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap14lem1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hdmap14lem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		hdmap14lem1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
9		hdmap14lem1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem2.e	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
11		hdmap14lem1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap14lem2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		hdmap14lem2.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑃)
15		hdmap14lem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap14lem1.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		hdmap14lem3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		hdmap14lem1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	hdmap14lem1 35978	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑋)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}))
20	19	eqcomd 2612	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑋)}))
21		eqid 2606	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22		eqid 2606	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
23	1, 9, 16	lcdlvec 35698	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
24	1, 2, 16	dvhlmod 35217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
25	18	eldifad 3548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
26	17	eldifad 3548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	3, 6, 4, 7	lmodvscl 18646	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
29	1, 2, 3, 9, 21, 15, 16, 28	hdmapcl 35940	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ∈ (Base‘𝐶))
30	1, 2, 3, 5, 9, 22, 21, 15, 16, 17	hdmapnzcl 35955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}))
31	21, 12, 13, 14, 10, 22, 11, 23, 29, 30	lspsneu 18887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑋)}) ↔ ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
32	20, 31	mpbid 220	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∃!wreu 2894   ∖ cdif 3533  {csn 4121  ‘cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  Scalarcsca 15714   ·_𝑠 cvsca 15715  0_gc0g 15866  LModclmod 18629  LSpanclspn 18735  HLchlt 33455  LHypclh 34088  DVecHcdvh 35185  LCDualclcd 35693  HDMapchdma 35900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-riotaBAD 33057

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-ot 4130  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-tpos 7213  df-undef 7260  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-0g 15868  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-subg 17357  df-cntz 17516  df-oppg 17542  df-lsm 17817  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-dvr 18449  df-drng 18515  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-lsp 18736  df-lvec 18867  df-lsatoms 33081  df-lshyp 33082  df-lcv 33124  df-lfl 33163  df-lkr 33191  df-ldual 33229  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-llines 33602  df-lplanes 33603  df-lvols 33604  df-lines 33605  df-psubsp 33607  df-pmap 33608  df-padd 33900  df-lhyp 34092  df-laut 34093  df-ldil 34208  df-ltrn 34209  df-trl 34264  df-tgrp 34849  df-tendo 34861  df-edring 34863  df-dveca 35109  df-disoa 35136  df-dvech 35186  df-dib 35246  df-dic 35280  df-dih 35336  df-doch 35455  df-djh 35502  df-lcdual 35694  df-mapd 35732  df-hvmap 35864  df-hdmap1 35901  df-hdmap 35902

This theorem is referenced by:  hdmap14lem4  35982