Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1eq 36598
Description: The defining equation for h(x,x',y)=y' in part (2) in [Baer] p. 45 line 24. (Contributed by NM, 16-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1val2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1val2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1val2.s = (-g𝑈)
hdmap1val2.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1val2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1val2.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1val2.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1val2.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1val2.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1eq.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eq.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1eq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eq.g (𝜑𝐺𝐷)
hdmap1eq.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap1eq.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1eq (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))

Proof of Theorem hdmap1eq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1val2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1val2.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1val2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1val2.s . . . 4 = (-g𝑈)
5 hdmap1val2.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
6 hdmap1val2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap1val2.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1val2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hdmap1val2.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
10 hdmap1val2.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
11 hdmap1val2.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
12 hdmap1val2.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1val2.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14 hdmap1eq.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1514eldifad 3571 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
16 hdmap1eq.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
17 hdmap1eq.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17hdmap1val2 36597 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))))
1918eqeq1d 2623 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))) = 𝐺))
20 hdmap1eq.e . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
21 hdmap1eq.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
221, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 17, 16, 20, 21mapdpg 36502 . . 3 (𝜑 → ∃!𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)})))
23 nfv 1840 . . . 4 𝜑
24 nfcvd 2762 . . . 4 (𝜑𝐺)
25 nfvd 1841 . . . 4 (𝜑 → Ⅎ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
26 hdmap1eq.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
27 sneq 4163 . . . . . . . 8 ( = 𝐺 → {} = {𝐺})
2827fveq2d 6157 . . . . . . 7 ( = 𝐺 → (𝐿‘{}) = (𝐿‘{𝐺}))
2928eqeq2d 2631 . . . . . 6 ( = 𝐺 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺})))
30 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 ( = 𝐺 → (𝐹𝑅) = (𝐹𝑅𝐺))
3130sneqd 4165 . . . . . . . 8 ( = 𝐺 → {(𝐹𝑅)} = {(𝐹𝑅𝐺)})
3231fveq2d 6157 . . . . . . 7 ( = 𝐺 → (𝐿‘{(𝐹𝑅)}) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
3332eqeq2d 2631 . . . . . 6 ( = 𝐺 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
3429, 33anbi12d 746 . . . . 5 ( = 𝐺 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
3534adantl 482 . . . 4 ((𝜑 = 𝐺) → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
3623, 24, 25, 26, 35riota2df 6591 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃!𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))) → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})) ↔ (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))) = 𝐺))
3722, 36mpdan 701 . 2 (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})) ↔ (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))) = 𝐺))
3819, 37bitr4d 271 1 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  ∃!wreu 2909  cdif 3556  {csn 4153  cotp 4161  cfv 5852  crio 6570  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  0gc0g 16028  -gcsg 17352  LSpanclspn 18899  HLchlt 34144  LHypclh 34777  DVecHcdvh 35874  LCDualclcd 36382  mapdcmpd 36420  HDMap1chdma1 36588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-riotaBAD 33746
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-0g 16030  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-preset 16856  df-poset 16874  df-plt 16886  df-lub 16902  df-glb 16903  df-join 16904  df-meet 16905  df-p0 16967  df-p1 16968  df-lat 16974  df-clat 17036  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-subg 17519  df-cntz 17678  df-oppg 17704  df-lsm 17979  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-oppr 18551  df-dvdsr 18569  df-unit 18570  df-invr 18600  df-dvr 18611  df-drng 18677  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-lvec 19031  df-lsatoms 33770  df-lshyp 33771  df-lcv 33813  df-lfl 33852  df-lkr 33880  df-ldual 33918  df-oposet 33970  df-ol 33972  df-oml 33973  df-covers 34060  df-ats 34061  df-atl 34092  df-cvlat 34116  df-hlat 34145  df-llines 34291  df-lplanes 34292  df-lvols 34293  df-lines 34294  df-psubsp 34296  df-pmap 34297  df-padd 34589  df-lhyp 34781  df-laut 34782  df-ldil 34897  df-ltrn 34898  df-trl 34953  df-tgrp 35538  df-tendo 35550  df-edring 35552  df-dveca 35798  df-disoa 35825  df-dvech 35875  df-dib 35935  df-dic 35969  df-dih 36025  df-doch 36144  df-djh 36191  df-lcdual 36383  df-mapd 36421  df-hdmap1 36590
This theorem is referenced by:  hdmap1l6lem1  36604  hdmap1l6lem2  36605  hdmap1l6a  36606  hdmap1neglem1N  36624  hdmapval3lemN  36636  hdmap10lem  36638  hdmap11lem1  36640
  Copyright terms: Public domain W3C validator