Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6b0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6b0N 35918
Description: Lemmma for hdmap1l6 35929. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6b0.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmap1l6b0.z (𝜑𝑍𝑉)
hdmap1l6b0.ne (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6b0N (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Proof of Theorem hdmap1l6b0N
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6b0.ne . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 })
2 hdmap1l6.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
3 hdmap1l6c.o . . 3 0 = (0g𝑈)
4 hdmap1l6.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 eqid 2606 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1l6.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8dvhlvec 35216 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
106, 7, 8dvhlmod 35217 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
11 hdmap1l6b0.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
12 hdmap1l6b0.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
132, 5, 4, 10, 11, 12lspprcl 18742 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14 hdmap1l6cl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
152, 3, 4, 5, 9, 13, 14lspdisjb 18890 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 }))
161, 15mpbird 245 1 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3533  cin 3535  {csn 4121  {cpr 4123  cfv 5787  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  0gc0g 15866  -gcsg 17190  LSubSpclss 18696  LSpanclspn 18735  HLchlt 33455  LHypclh 34088  DVecHcdvh 35185  LCDualclcd 35693  mapdcmpd 35731  HDMap1chdma1 35899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-riotaBAD 33057
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-tpos 7213  df-undef 7260  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-0g 15868  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-dvr 18449  df-drng 18515  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-lsp 18736  df-lvec 18867  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-llines 33602  df-lplanes 33603  df-lvols 33604  df-lines 33605  df-psubsp 33607  df-pmap 33608  df-padd 33900  df-lhyp 34092  df-laut 34093  df-ldil 34208  df-ltrn 34209  df-trl 34264  df-tendo 34861  df-edring 34863  df-dvech 35186
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator