Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6c 35914
Description: Lemmma for hdmap1l6 35923. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6c.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmap1l6c.z (𝜑𝑍 = 0 )
hdmap1l6c.ne (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6c (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6c
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 35693 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lmodgrp 18642 . . . 4 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Grp)
7 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1l6.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
10 hdmap1l6.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
13 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
16 hdmap1l6.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
171, 7, 3dvhlvec 35210 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
18 hdmap1l6cl.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1918eldifad 3552 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
20 hdmap1l6c.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
21 hdmap1l6c.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 = 0 )
221, 7, 3dvhlmod 35211 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
238, 9lmod0vcl 18664 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑0𝑉)
2521, 24eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
26 hdmap1l6c.ne . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
278, 10, 17, 19, 20, 25, 26lspindpi 18902 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2827simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
291, 7, 8, 9, 10, 2, 11, 12, 13, 14, 3, 15, 16, 28, 18, 20hdmap1cl 35906 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
30 hdmap1l6.a . . . 4 = (+g𝐶)
31 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
3211, 30, 31grprid 17225 . . 3 ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
336, 29, 32syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
3421oteq3d 4349 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
3534fveq2d 6092 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
361, 7, 8, 9, 2, 11, 31, 14, 3, 15, 19hdmap1val0 35901 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3735, 36eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝑄)
3837oveq2d 6543 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄))
3921oveq2d 6543 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 + 0 ))
40 lmodgrp 18642 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
4122, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
42 hdmap1l6.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
438, 42, 9grprid 17225 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
4441, 20, 43syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
4539, 44eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑌)
4645oteq3d 4349 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)
4746fveq2d 6092 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
4833, 38, 473eqtr4rd 2655 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127  cotp 4133  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  0gc0g 15872  Grpcgrp 17194  -gcsg 17196  LModclmod 18635  LSpanclspn 18741  HLchlt 33449  LHypclh 34082  DVecHcdvh 35179  LCDualclcd 35687  mapdcmpd 35725  HDMap1chdma1 35893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-riotaBAD 33051
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-tpos 7217  df-undef 7264  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-0g 15874  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-subg 17363  df-cntz 17522  df-oppg 17548  df-lsm 17823  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-drng 18521  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-lvec 18873  df-lsatoms 33075  df-lshyp 33076  df-lcv 33118  df-lfl 33157  df-lkr 33185  df-ldual 33223  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-llines 33596  df-lplanes 33597  df-lvols 33598  df-lines 33599  df-psubsp 33601  df-pmap 33602  df-padd 33894  df-lhyp 34086  df-laut 34087  df-ldil 34202  df-ltrn 34203  df-trl 34258  df-tgrp 34843  df-tendo 34855  df-edring 34857  df-dveca 35103  df-disoa 35130  df-dvech 35180  df-dib 35240  df-dic 35274  df-dih 35330  df-doch 35449  df-djh 35496  df-lcdual 35688  df-mapd 35726  df-hdmap1 35895
This theorem is referenced by:  hdmap1l6k  35922
  Copyright terms: Public domain W3C validator