Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6i 37425
Description: Lemmma for hdmap1l6 37428. Eliminate auxiliary vector 𝑤. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6i.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6i.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6i.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6i.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6i (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6i
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1l6.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmap1l6.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 hdmap1l6cl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3619 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
8 hdmap1l6i.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3619 . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 37052 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 hdmap1l6.p . . . 4 + = (+g𝑈)
12 hdmap1l6.s . . . 4 = (-g𝑈)
13 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
14 hdmap1l6.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 hdmap1l6.a . . . 4 = (+g𝐶)
17 hdmap1l6.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
18 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
19 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
20 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
2253ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 hdmap1l6.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
24233ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹𝐷)
2563ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 hdmap1l6.mn . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
27263ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
28 hdmap1l6i.xn . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
29283ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30 hdmap1l6i.yz . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
31303ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
3283ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 hdmap1l6i.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34333ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 eqid 2651 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
361, 2, 5dvhlmod 36716 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
37363ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
383, 35, 4, 36, 7, 9lspprcl 19026 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
39383ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
40 simp2 1082 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤𝑉)
41 simp3 1083 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
423, 13, 35, 37, 39, 40, 41lssneln0 19000 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
431, 2, 3, 11, 12, 13, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 42, 41hdmap1l6h 37424 . . 3 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
4443rexlimdv3a 3062 . 2 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))))
4510, 44mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  cdif 3604  {csn 4210  {cpr 4212  cotp 4218  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  -gcsg 17471  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  LCDualclcd 37192  mapdcmpd 37230  HDMap1chdma1 37398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lcv 34624  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001  df-lcdual 37193  df-mapd 37231  df-hdmap1 37400
This theorem is referenced by:  hdmap1l6j  37426
  Copyright terms: Public domain W3C validator