Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6lem1 35909
Description: Lemma for hdmap1l6 35923. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 16-18. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6e.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
hdmap1l6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6lem1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))

Proof of Theorem hdmap1l6lem1
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 hdmap1l6.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 35211 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmap1l6cl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3552 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
9 hdmap1l6e.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3552 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
11 hdmap1l6.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 hdmap1l6.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1311, 12lmodvsubcl 18680 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
146, 8, 10, 13syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
15 hdmap1l6.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1611, 4, 15lspsncl 18747 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
176, 14, 16syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 hdmap1l6e.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1918eldifad 3552 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
2011, 4, 15lspsncl 18747 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
216, 19, 20syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22 eqid 2610 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
234, 22lsmcl 18853 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
246, 17, 21, 23syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2511, 12lmodvsubcl 18680 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
266, 8, 19, 25syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
2711, 4, 15lspsncl 18747 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
286, 26, 27syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2911, 4, 15lspsncl 18747 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
306, 10, 29syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
314, 22lsmcl 18853 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
326, 28, 30, 31syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
331, 2, 3, 4, 5, 24, 32mapdin 35763 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
34 hdmap1l6.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35 eqid 2610 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
361, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 17, 21mapdlsm 35765 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
371, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 28, 30mapdlsm 35765 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
3836, 37ineq12d 3777 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
39 hdmap1l6.fg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
40 hdmap1l6c.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
41 hdmap1l6.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
42 hdmap1l6.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
43 hdmap1l6.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
44 hdmap1l6.i . . . . . . . . 9 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
45 hdmap1l6.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
46 hdmap1l6.mn . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
471, 3, 5dvhlvec 35210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
48 hdmap1l6.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49 hdmap1l6e.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5011, 40, 15, 47, 10, 18, 8, 48, 49lspindp2 18905 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5150simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
521, 3, 11, 40, 15, 34, 41, 43, 2, 44, 5, 45, 46, 51, 7, 10hdmap1cl 35906 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5339, 52eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
541, 3, 11, 12, 40, 15, 34, 41, 42, 43, 2, 44, 5, 7, 45, 9, 53, 51, 46hdmap1eq 35903 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5539, 54mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5655simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
57 hdmap1l6.fe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
5811, 40, 15, 47, 9, 19, 8, 48, 49lspindp1 18903 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5958simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
601, 3, 11, 40, 15, 34, 41, 43, 2, 44, 5, 45, 46, 59, 7, 19hdmap1cl 35906 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6157, 60eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
621, 3, 11, 12, 40, 15, 34, 41, 42, 43, 2, 44, 5, 7, 45, 18, 61, 59, 46hdmap1eq 35903 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6357, 62mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6463simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}))
6556, 64oveq12d 6545 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})))
6663simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
6755simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}))
6866, 67oveq12d 6545 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺})))
6965, 68ineq12d 3777 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺}))))
7038, 69eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺}))))
7133, 70eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺}))))
72 hdmap1l6.p . . . 4 + = (+g𝑈)
7311, 12, 40, 22, 15, 47, 8, 49, 48, 9, 18, 72baerlem5a 35815 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
7473fveq2d 6092 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
75 hdmap1l6.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
761, 34, 5lcdlvec 35692 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 11, 15, 34, 41, 43, 5, 45, 46, 8, 10, 53, 67, 19, 61, 64, 49mapdindp 35772 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐿‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 11, 15, 34, 41, 43, 5, 53, 67, 10, 19, 61, 64, 48mapdncol 35771 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{𝐺}) ≠ (𝐿‘{𝐸}))
791, 2, 3, 11, 15, 34, 41, 43, 5, 53, 67, 40, 75, 9mapdn0 35770 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
801, 2, 3, 11, 15, 34, 41, 43, 5, 61, 64, 40, 75, 18mapdn0 35770 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81 hdmap1l6.a . . 3 = (+g𝐶)
8241, 42, 75, 35, 43, 76, 45, 77, 78, 79, 80, 81baerlem5a 35815 . 2 (𝜑 → (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}) = (((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐺}))))
8371, 74, 823eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  cin 3539  {csn 4125  {cpr 4127  cotp 4133  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  0gc0g 15872  -gcsg 17196  LSSumclsm 17821  LModclmod 18635  LSubSpclss 18702  LSpanclspn 18741  HLchlt 33449  LHypclh 34082  DVecHcdvh 35179  LCDualclcd 35687  mapdcmpd 35725  HDMap1chdma1 35893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-riotaBAD 33051
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-tpos 7217  df-undef 7264  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-0g 15874  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-subg 17363  df-cntz 17522  df-oppg 17548  df-lsm 17823  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-drng 18521  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-lvec 18873  df-lsatoms 33075  df-lshyp 33076  df-lcv 33118  df-lfl 33157  df-lkr 33185  df-ldual 33223  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-llines 33596  df-lplanes 33597  df-lvols 33598  df-lines 33599  df-psubsp 33601  df-pmap 33602  df-padd 33894  df-lhyp 34086  df-laut 34087  df-ldil 34202  df-ltrn 34203  df-trl 34258  df-tgrp 34843  df-tendo 34855  df-edring 34857  df-dveca 35103  df-disoa 35130  df-dvech 35180  df-dib 35240  df-dic 35274  df-dih 35330  df-doch 35449  df-djh 35496  df-lcdual 35688  df-mapd 35726  df-hdmap1 35895
This theorem is referenced by:  hdmap1l6lem2  35910  hdmap1l6a  35911
  Copyright terms: Public domain W3C validator