Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1neglem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1neglem1N 37434
 Description: Lemma for hdmapneg 37455. TODO: Not used; delete. (Contributed by NM, 23-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1neglem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1neglem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1neglem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1neglem1.r 𝑅 = (invg𝑈)
hdmap1neglem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1neglem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1neglem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1neglem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1neglem1.s 𝑆 = (invg𝐶)
hdmap1neglem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1neglem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1neglem1.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1neglem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1neglem1.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1neglem1.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1neglem1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap1neglem1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1neglem1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1neglem1.e (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
Assertion
Ref Expression
hdmap1neglem1N (𝜑 → (𝐼‘⟨(𝑅𝑋), (𝑆𝐹), (𝑅𝑌)⟩) = (𝑆𝐺))

Proof of Theorem hdmap1neglem1N
StepHypRef Expression
1 hdmap1neglem1.e . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
2 hdmap1neglem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 hdmap1neglem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 hdmap1neglem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 eqid 2651 . . . . . 6 (-g𝑈) = (-g𝑈)
6 hdmap1neglem1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
7 hdmap1neglem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 hdmap1neglem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap1neglem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
10 eqid 2651 . . . . . 6 (-g𝐶) = (-g𝐶)
11 hdmap1neglem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
12 hdmap1neglem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1neglem1.i . . . . . 6 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmap1neglem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hdmap1neglem1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16 hdmap1neglem1.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐷)
17 hdmap1neglem1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 hdmap1neglem1.mn . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
19 hdmap1neglem1.ne . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2017eldifad 3619 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
212, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 15, 20hdmap1cl 37411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
221, 21eqeltrrd 2731 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐷)
232, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 22, 19, 18hdmap1eq 37408 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)}))))
241, 23mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)})))
2524simpld 474 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}))
262, 3, 14dvhlmod 36716 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27 hdmap1neglem1.r . . . . . 6 𝑅 = (invg𝑈)
284, 27, 7lspsnneg 19054 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑅𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
2926, 20, 28syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑅𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
3029fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑌)})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
312, 8, 14lcdlmod 37198 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
32 hdmap1neglem1.s . . . . 5 𝑆 = (invg𝐶)
339, 32, 11lspsnneg 19054 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐷) → (𝐿‘{(𝑆𝐺)}) = (𝐿‘{𝐺}))
3431, 22, 33syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝐺)}) = (𝐿‘{𝐺}))
3525, 30, 343eqtr4d 2695 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑌)})) = (𝐿‘{(𝑆𝐺)}))
3624simprd 478 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)}))
37 lmodabl 18958 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
3826, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
3915eldifad 3619 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
404, 5, 27, 38, 39, 20ablsub2inv 18262 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌)) = (𝑌(-g𝑈)𝑋))
4140sneqd 4222 . . . . . 6 (𝜑 → {((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))} = {(𝑌(-g𝑈)𝑋)})
4241fveq2d 6233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑌(-g𝑈)𝑋)}))
434, 5, 7, 26, 20, 39lspsnsub 19055 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌(-g𝑈)𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)}))
4442, 43eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)}))
4544fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))})) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)})))
46 lmodabl 18958 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Abel)
4731, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ Abel)
489, 10, 32, 47, 16, 22ablsub2inv 18262 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺)) = (𝐺(-g𝐶)𝐹))
4948sneqd 4222 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))} = {(𝐺(-g𝐶)𝐹)})
5049fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))}) = (𝐿‘{(𝐺(-g𝐶)𝐹)}))
519, 10, 11, 31, 22, 16lspsnsub 19055 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝐺(-g𝐶)𝐹)}) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)}))
5250, 51eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))}) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)}))
5336, 45, 523eqtr4d 2695 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))})) = (𝐿‘{((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))}))
54 lmodgrp 18918 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
5526, 54syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
564, 6, 27grpinvnzcl 17534 . . . 4 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑅𝑋) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5755, 15, 56syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑋) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
589, 32lmodvnegcl 18952 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷) → (𝑆𝐹) ∈ 𝐷)
5931, 16, 58syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐹) ∈ 𝐷)
604, 6, 27grpinvnzcl 17534 . . . 4 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑅𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6155, 17, 60syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
629, 32lmodvnegcl 18952 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐷) → (𝑆𝐺) ∈ 𝐷)
6331, 22, 62syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐺) ∈ 𝐷)
644, 27, 7lspsnneg 19054 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
6526, 39, 64syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑅𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
6619, 65, 293netr4d 2900 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑅𝑋)}) ≠ (𝑁‘{(𝑅𝑌)}))
6765fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑋)})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
689, 32, 11lspsnneg 19054 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷) → (𝐿‘{(𝑆𝐹)}) = (𝐿‘{𝐹}))
6931, 16, 68syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝐹)}) = (𝐿‘{𝐹}))
7018, 67, 693eqtr4d 2695 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑋)})) = (𝐿‘{(𝑆𝐹)}))
712, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 57, 59, 61, 63, 66, 70hdmap1eq 37408 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨(𝑅𝑋), (𝑆𝐹), (𝑅𝑌)⟩) = (𝑆𝐺) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑌)})) = (𝐿‘{(𝑆𝐺)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))})) = (𝐿‘{((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))}))))
7235, 53, 71mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨(𝑅𝑋), (𝑆𝐹), (𝑅𝑌)⟩) = (𝑆𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604  {csn 4210  ⟨cotp 4218  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  -gcsg 17471  Abelcabl 18240  LModclmod 18911  LSpanclspn 19019  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  LCDualclcd 37192  mapdcmpd 37230  HDMap1chdma1 37398 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lcv 34624  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001  df-lcdual 37193  df-mapd 37231  df-hdmap1 37400 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator