Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1neglem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1neglem1N 35918
Description: Lemma for hdmapneg 35939. TODO: Not used; delete. (Contributed by NM, 23-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1neglem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1neglem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1neglem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1neglem1.r 𝑅 = (invg𝑈)
hdmap1neglem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1neglem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1neglem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1neglem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1neglem1.s 𝑆 = (invg𝐶)
hdmap1neglem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1neglem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1neglem1.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1neglem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1neglem1.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1neglem1.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1neglem1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap1neglem1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1neglem1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1neglem1.e (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
Assertion
Ref Expression
hdmap1neglem1N (𝜑 → (𝐼‘⟨(𝑅𝑋), (𝑆𝐹), (𝑅𝑌)⟩) = (𝑆𝐺))

Proof of Theorem hdmap1neglem1N
StepHypRef Expression
1 hdmap1neglem1.e . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
2 hdmap1neglem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 hdmap1neglem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 hdmap1neglem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 eqid 2609 . . . . . 6 (-g𝑈) = (-g𝑈)
6 hdmap1neglem1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
7 hdmap1neglem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 hdmap1neglem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap1neglem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
10 eqid 2609 . . . . . 6 (-g𝐶) = (-g𝐶)
11 hdmap1neglem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
12 hdmap1neglem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1neglem1.i . . . . . 6 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmap1neglem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hdmap1neglem1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16 hdmap1neglem1.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐷)
17 hdmap1neglem1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 hdmap1neglem1.mn . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
19 hdmap1neglem1.ne . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2017eldifad 3551 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
212, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 15, 20hdmap1cl 35895 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
221, 21eqeltrrd 2688 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐷)
232, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 22, 19, 18hdmap1eq 35892 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)}))))
241, 23mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)})))
2524simpld 473 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}))
262, 3, 14dvhlmod 35200 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27 hdmap1neglem1.r . . . . . 6 𝑅 = (invg𝑈)
284, 27, 7lspsnneg 18775 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑅𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
2926, 20, 28syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑅𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
3029fveq2d 6091 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑌)})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
312, 8, 14lcdlmod 35682 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
32 hdmap1neglem1.s . . . . 5 𝑆 = (invg𝐶)
339, 32, 11lspsnneg 18775 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐷) → (𝐿‘{(𝑆𝐺)}) = (𝐿‘{𝐺}))
3431, 22, 33syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝐺)}) = (𝐿‘{𝐺}))
3525, 30, 343eqtr4d 2653 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑌)})) = (𝐿‘{(𝑆𝐺)}))
3624simprd 477 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)}))
37 lmodabl 18681 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
3826, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
3915eldifad 3551 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
404, 5, 27, 38, 39, 20ablsub2inv 17987 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌)) = (𝑌(-g𝑈)𝑋))
4140sneqd 4136 . . . . . 6 (𝜑 → {((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))} = {(𝑌(-g𝑈)𝑋)})
4241fveq2d 6091 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑌(-g𝑈)𝑋)}))
434, 5, 7, 26, 20, 39lspsnsub 18776 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌(-g𝑈)𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)}))
4442, 43eqtrd 2643 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)}))
4544fveq2d 6091 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))})) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋(-g𝑈)𝑌)})))
46 lmodabl 18681 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Abel)
4731, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ Abel)
489, 10, 32, 47, 16, 22ablsub2inv 17987 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺)) = (𝐺(-g𝐶)𝐹))
4948sneqd 4136 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))} = {(𝐺(-g𝐶)𝐹)})
5049fveq2d 6091 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))}) = (𝐿‘{(𝐺(-g𝐶)𝐹)}))
519, 10, 11, 31, 22, 16lspsnsub 18776 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝐺(-g𝐶)𝐹)}) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)}))
5250, 51eqtrd 2643 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))}) = (𝐿‘{(𝐹(-g𝐶)𝐺)}))
5336, 45, 523eqtr4d 2653 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))})) = (𝐿‘{((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))}))
54 lmodgrp 18641 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
5526, 54syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
564, 6, 27grpinvnzcl 17258 . . . 4 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑅𝑋) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5755, 15, 56syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑋) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
589, 32lmodvnegcl 18675 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷) → (𝑆𝐹) ∈ 𝐷)
5931, 16, 58syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐹) ∈ 𝐷)
604, 6, 27grpinvnzcl 17258 . . . 4 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑅𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6155, 17, 60syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
629, 32lmodvnegcl 18675 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐷) → (𝑆𝐺) ∈ 𝐷)
6331, 22, 62syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐺) ∈ 𝐷)
644, 27, 7lspsnneg 18775 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
6526, 39, 64syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑅𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
6619, 65, 293netr4d 2858 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑅𝑋)}) ≠ (𝑁‘{(𝑅𝑌)}))
6765fveq2d 6091 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑋)})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
689, 32, 11lspsnneg 18775 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷) → (𝐿‘{(𝑆𝐹)}) = (𝐿‘{𝐹}))
6931, 16, 68syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝐹)}) = (𝐿‘{𝐹}))
7018, 67, 693eqtr4d 2653 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑋)})) = (𝐿‘{(𝑆𝐹)}))
712, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 57, 59, 61, 63, 66, 70hdmap1eq 35892 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨(𝑅𝑋), (𝑆𝐹), (𝑅𝑌)⟩) = (𝑆𝐺) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑅𝑌)})) = (𝐿‘{(𝑆𝐺)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((𝑅𝑋)(-g𝑈)(𝑅𝑌))})) = (𝐿‘{((𝑆𝐹)(-g𝐶)(𝑆𝐺))}))))
7235, 53, 71mpbir2and 958 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨(𝑅𝑋), (𝑆𝐹), (𝑅𝑌)⟩) = (𝑆𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cdif 3536  {csn 4124  cotp 4132  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  0gc0g 15871  Grpcgrp 17193  invgcminusg 17194  -gcsg 17195  Abelcabl 17965  LModclmod 18634  LSpanclspn 18740  HLchlt 33438  LHypclh 34071  DVecHcdvh 35168  LCDualclcd 35676  mapdcmpd 35714  HDMap1chdma1 35882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-0g 15873  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-subg 17362  df-cntz 17521  df-oppg 17547  df-lsm 17822  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-drng 18520  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-lsp 18741  df-lvec 18872  df-lsatoms 33064  df-lshyp 33065  df-lcv 33107  df-lfl 33146  df-lkr 33174  df-ldual 33212  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-llines 33585  df-lplanes 33586  df-lvols 33587  df-lines 33588  df-psubsp 33590  df-pmap 33591  df-padd 33883  df-lhyp 34075  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192  df-trl 34247  df-tgrp 34832  df-tendo 34844  df-edring 34846  df-dveca 35092  df-disoa 35119  df-dvech 35169  df-dib 35229  df-dic 35263  df-dih 35319  df-doch 35438  df-djh 35485  df-lcdual 35677  df-mapd 35715  df-hdmap1 35884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator