Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapoc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapoc 36040
Description: Express our constructed orthocomplement (polarity) in terms of the Hilbert space definition of orthocomplement. Lines 24 and 25 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapoc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapoc.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapoc.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapoc.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapoc.z 0 = (0g𝑅)
hdmapoc.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapoc.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapoc.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapoc.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapoc (𝜑 → (𝑂𝑋) = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 })
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑂   𝑧,𝑉   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑧)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hdmapoc
StepHypRef Expression
1 hdmapoc.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hdmapoc.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
3 hdmapoc.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hdmapoc.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmapoc.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 hdmapoc.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6dochssv 35461 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂𝑋) ⊆ 𝑉)
81, 2, 7syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑋) ⊆ 𝑉)
98sseld 3562 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) → 𝑦𝑉))
109pm4.71rd 664 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑦𝑉𝑦 ∈ (𝑂𝑋))))
11 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
12 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
133, 4, 1dvhlmod 35216 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1413adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
153, 4, 5, 11, 6dochlss 35460 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
161, 2, 15syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑂𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
195, 11, 12, 14, 17, 18lspsnel5 18758 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}) ⊆ (𝑂𝑋)))
20 eqid 2605 . . . . . . . . 9 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
211adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
223, 4, 5, 12, 20dihlsprn 35437 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑦𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
2321, 18, 22syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
243, 20, 4, 5, 6dochcl 35459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
251, 2, 24syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
2625adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑂𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
273, 20, 6, 21, 23, 26dochord 35476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}) ⊆ (𝑂𝑋) ↔ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}))))
2818snssd 4276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → {𝑦} ⊆ 𝑉)
293, 4, 6, 5, 12, 21, 28dochocsp 35485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑦})) = (𝑂‘{𝑦}))
3029sseq2d 3591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑦})) ↔ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑦})))
312adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑋𝑉)
323, 20, 4, 5, 6dochcl 35459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝑦}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3321, 28, 32syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑂‘{𝑦}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
343, 4, 5, 20, 6, 21, 31, 33dochsscl 35474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑋 ⊆ (𝑂‘{𝑦}) ↔ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑦})))
3530, 34bitr4d 269 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑦})) ↔ 𝑋 ⊆ (𝑂‘{𝑦})))
3619, 27, 353bitrd 292 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ 𝑋 ⊆ (𝑂‘{𝑦})))
37 dfss3 3553 . . . . . . 7 (𝑋 ⊆ (𝑂‘{𝑦}) ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦}))
3836, 37syl6bb 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦})))
39 hdmapoc.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
40 hdmapoc.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
41 hdmapoc.s . . . . . . . . 9 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
421ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4331sselda 3563 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑉)
44 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑉)
453, 6, 4, 5, 39, 40, 41, 42, 43, 44hdmapellkr 36023 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0𝑦 ∈ (𝑂‘{𝑧})))
463, 6, 4, 5, 42, 44, 43dochsncom 35488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑂‘{𝑧}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦})))
4745, 46bitrd 266 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦})))
4847ralbidva 2963 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦})))
4938, 48bitr4d 269 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 ))
5049pm5.32da 670 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝑉𝑦 ∈ (𝑂𝑋)) ↔ (𝑦𝑉 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 )))
5110, 50bitrd 266 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑦𝑉 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 )))
5251abbi2dv 2724 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑋) = {𝑦 ∣ (𝑦𝑉 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 )})
53 df-rab 2900 . 2 {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 } = {𝑦 ∣ (𝑦𝑉 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 )}
5452, 53syl6eqr 2657 1 (𝜑 → (𝑂𝑋) = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  {cab 2591  wral 2891  {crab 2895  wss 3535  {csn 4120  ran crn 5025  cfv 5786  Basecbs 15637  Scalarcsca 15713  0gc0g 15865  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  LSpanclspn 18734  HLchlt 33454  LHypclh 34087  DVecHcdvh 35184  DIsoHcdih 35334  ocHcoch 35453  HDMapchdma 35899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-undef 7259  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-0g 15867  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-oppg 17541  df-lsm 17816  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lvec 18866  df-lsatoms 33080  df-lshyp 33081  df-lcv 33123  df-lfl 33162  df-lkr 33190  df-ldual 33228  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263  df-tgrp 34848  df-tendo 34860  df-edring 34862  df-dveca 35108  df-disoa 35135  df-dvech 35185  df-dib 35245  df-dic 35279  df-dih 35335  df-doch 35454  df-djh 35501  df-lcdual 35693  df-mapd 35731  df-hvmap 35863  df-hdmap1 35900  df-hdmap 35901
This theorem is referenced by:  hlhilocv  36066
  Copyright terms: Public domain W3C validator