Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem3uN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem3uN 37663
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem3uN (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3uN
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2760 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 36919 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.ue . . . 4 (𝜑𝑢𝑉)
8 hdmaprnlem1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
108, 4, 9lspsncl 19199 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
116, 7, 10syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 2, 3, 4, 5, 11mapdcnvid1N 37463 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑁‘{𝑢}))
13 hdmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
15 hdmaprnlem1.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
161, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 7hdmap10 37652 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆𝑢)}))
17 hdmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
18 hdmaprnlem1.a . . . . 5 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
201, 13, 5lcdlvec 37400 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
211, 3, 8, 13, 17, 15, 5, 7hdmapcl 37642 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
22 hdmaprnlem1.se . . . . 5 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
23 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
24 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
261, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 22, 23, 24, 7, 25hdmaprnlem1N 37661 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
2717, 18, 19, 14, 20, 21, 22, 26lspindp3 19358 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
2816, 27eqnetrd 2999 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
291, 2, 3, 4, 5, 11mapdcl 37462 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ ran 𝑀)
301, 13, 5lcdlmod 37401 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
3122eldifad 3727 . . . . . . . 8 (𝜑𝑠𝐷)
3217, 18lmodvacl 19099 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3330, 21, 31, 32syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
34 eqid 2760 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3517, 34, 14lspsncl 19199 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3630, 33, 35syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
371, 2, 13, 34, 5mapdrn2 37460 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3836, 37eleqtrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
391, 2, 5, 29, 38mapdcnv11N 37468 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4039necon3bid 2976 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4128, 40mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4212, 41eqnetrrd 3000 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  {csn 4321  ccnv 5265  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  LCDualclcd 37395  mapdcmpd 37433  HDMapchdma 37602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lcv 34827  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-ldual 34932  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204  df-lcdual 37396  df-mapd 37434  df-hvmap 37566  df-hdmap1 37603  df-hdmap 37604
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  37670
  Copyright terms: Public domain W3C validator