Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem3uN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem3uN 35959
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem3uN (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3uN
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2604 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 35215 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.ue . . . 4 (𝜑𝑢𝑉)
8 hdmaprnlem1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
108, 4, 9lspsncl 18739 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
116, 7, 10syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 2, 3, 4, 5, 11mapdcnvid1N 35759 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑁‘{𝑢}))
13 hdmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
15 hdmaprnlem1.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
161, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 7hdmap10 35948 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆𝑢)}))
17 hdmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
18 hdmaprnlem1.a . . . . 5 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
201, 13, 5lcdlvec 35696 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
211, 3, 8, 13, 17, 15, 5, 7hdmapcl 35938 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
22 hdmaprnlem1.se . . . . 5 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
23 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
24 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
261, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 22, 23, 24, 7, 25hdmaprnlem1N 35957 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
2717, 18, 19, 14, 20, 21, 22, 26lspindp3 18898 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
2816, 27eqnetrd 2843 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
291, 2, 3, 4, 5, 11mapdcl 35758 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ ran 𝑀)
301, 13, 5lcdlmod 35697 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
3122eldifad 3546 . . . . . . . 8 (𝜑𝑠𝐷)
3217, 18lmodvacl 18641 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3330, 21, 31, 32syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
34 eqid 2604 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3517, 34, 14lspsncl 18739 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3630, 33, 35syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
371, 2, 13, 34, 5mapdrn2 35756 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3836, 37eleqtrrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
391, 2, 5, 29, 38mapdcnv11N 35764 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4039necon3bid 2820 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4128, 40mpbird 245 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4212, 41eqnetrrd 2844 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  cdif 3531  {csn 4119  ccnv 5022  ran crn 5024  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  +gcplusg 15709  0gc0g 15864  LModclmod 18627  LSubSpclss 18694  LSpanclspn 18733  HLchlt 33453  LHypclh 34086  DVecHcdvh 35183  LCDualclcd 35691  mapdcmpd 35729  HDMapchdma 35898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-riotaBAD 33055
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-ot 4128  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-undef 7258  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-0g 15866  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-subg 17355  df-cntz 17514  df-oppg 17540  df-lsm 17815  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447  df-drng 18513  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-lvec 18865  df-lsatoms 33079  df-lshyp 33080  df-lcv 33122  df-lfl 33161  df-lkr 33189  df-ldual 33227  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-llines 33600  df-lplanes 33601  df-lvols 33602  df-lines 33603  df-psubsp 33605  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-lhyp 34090  df-laut 34091  df-ldil 34206  df-ltrn 34207  df-trl 34262  df-tgrp 34847  df-tendo 34859  df-edring 34861  df-dveca 35107  df-disoa 35134  df-dvech 35184  df-dib 35244  df-dic 35278  df-dih 35334  df-doch 35453  df-djh 35500  df-lcdual 35692  df-mapd 35730  df-hvmap 35862  df-hdmap1 35899  df-hdmap 35900
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  35966
  Copyright terms: Public domain W3C validator