Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem4N 35946
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19. (T* =) (Ft)* = Gs. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem4N (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))

Proof of Theorem hdmaprnlem4N
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 35200 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
98, 1, 2lspsncl 18746 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
106, 7, 9syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
11 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
1211eldifad 3551 . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
131, 2, 6, 10, 12lspsnel5a 18765 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) ⊆ (𝑁‘{𝑣}))
14 hdmaprnlem1.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
153, 4, 5dvhlvec 35199 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
168, 1lss1 18708 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑈))
176, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑈))
181, 2, 6, 17, 7lspsnel5a 18765 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑉)
1918ssdifd 3707 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
2019, 11sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
218, 14, 2, 15, 20, 7lspsncmp 18885 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑡}) ⊆ (𝑁‘{𝑣}) ↔ (𝑁‘{𝑡}) = (𝑁‘{𝑣})))
2213, 21mpbid 220 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) = (𝑁‘{𝑣}))
2322fveq2d 6091 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
24 hdmaprnlem1.e . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
2523, 24eqtrd 2643 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3536  wss 3539  {csn 4124  cfv 5789  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  0gc0g 15871  LModclmod 18634  LSubSpclss 18701  LSpanclspn 18740  HLchlt 33438  LHypclh 34071  DVecHcdvh 35168  LCDualclcd 35676  mapdcmpd 35714  HDMapchdma 35883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-0g 15873  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-drng 18520  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-lsp 18741  df-lvec 18872  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-llines 33585  df-lplanes 33586  df-lvols 33587  df-lines 33588  df-psubsp 33590  df-pmap 33591  df-padd 33883  df-lhyp 34075  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192  df-trl 34247  df-tendo 34844  df-edring 34846  df-dvech 35169
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem8N  35949  hdmaprnlem9N  35950
  Copyright terms: Public domain W3C validator