Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval3lemN 37446
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapval3.te (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
hdmapval3lem.x (𝜑𝑥𝑉)
hdmapval3lem.xn (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapval3.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapval3.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2651 . . 3 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hdmapval3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 hdmapval3.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmapval3.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2651 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9 eqid 2651 . . 3 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapval3.i . . 3 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapval3.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 eqid 2651 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
13 hdmapval3.j . . . . . 6 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15 eqid 2651 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmapval3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 36718 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 37372 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
1918eldifad 3619 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ 𝐷)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 37375 . . . 4 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽𝐸)}))
211, 2, 11dvhlvec 36715 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7 (𝜑𝑥𝑉)
2317eldifad 3619 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑉)
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
2524eldifad 3619 . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑉)
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 19180 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
2827simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
2928necomd 2878 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 37411 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))
32 eqid 2651 . . . . . 6 (-g𝑈) = (-g𝑈)
33 eqid 2651 . . . . . 6 (-g𝐶) = (-g𝐶)
34 eqid 2651 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 11dvhlmod 36716 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 19026 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
373, 4, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 19000 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 37408 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))}))))
3931, 38mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))})))
4039simpld 474 . . 3 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}))
41 hdmapval3.te . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
4241necomd 2878 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43 hdmapval3.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 19045 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 19044 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4645, 45unssd 3822 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4746, 26ssneldd 3639 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 37441 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 37444 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐽𝐸))
5048, 49eqtr3d 2687 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽𝐸))
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 19046 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 19044 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5345, 52unssd 3822 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5453, 26ssneldd 3639 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 37441 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
5655eqcomd 2657 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 37413 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
5857eqcomd 2657 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216  cotp 4218   I cid 5052  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  0gc0g 16147  -gcsg 17471  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  DVecHcdvh 36684  LCDualclcd 37192  mapdcmpd 37230  HVMapchvm 37362  HDMap1chdma1 37398  HDMapchdma 37399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lcv 34624  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001  df-lcdual 37193  df-mapd 37231  df-hvmap 37363  df-hdmap1 37400  df-hdmap 37401
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  37447
  Copyright terms: Public domain W3C validator