Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem5 33927
Description: Lemma for heibor 33933. The function 𝑀 is a set of point-and-radius pairs suitable for application to caubl 23306. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem5 (𝜑𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem5
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11491 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 inss1 3976 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋
3 heibor.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
43ffvelrnda 6522 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
52, 4sseldi 3742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ 𝒫 𝑋)
65elpwid 4314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ⊆ 𝑋)
7 heibor.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
9 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11 heibor.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
12 heibor.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13 heibor.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14 heibor.10 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐺0)
15 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
167, 8, 9, 10, 11, 3, 12, 13, 14, 15heiborlem4 33926 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘)𝐺𝑘)
17 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑘) ∈ V
18 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
197, 8, 9, 17, 18heiborlem2 33924 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ ((𝑆𝑘)𝐵𝑘) ∈ 𝐾))
2019simp2bi 1141 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘)𝐺𝑘 → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
2116, 20syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
226, 21sseldd 3745 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
231, 22sylan2 492 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
2423ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋)
25 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑛))
2625eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝑆𝑛) ∈ 𝑋))
2726cbvralv 3310 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ∈ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆𝑛) ∈ 𝑋)
2824, 27sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆𝑛) ∈ 𝑋)
29 3re 11286 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
30 3pos 11306 . . . . . . 7 0 < 3
3129, 30elrpii 12028 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
32 2nn 11377 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
33 nnnn0 11491 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
34 nnexpcl 13067 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3532, 33, 34sylancr 698 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3635nnrpd 12063 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
37 rpdivcl 12049 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℝ+) → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
3831, 36, 37sylancr 698 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
39 opelxpi 5305 . . . . . 6 (((𝑆𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+) → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
4039expcom 450 . . . . 5 ((3 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+ → ((𝑆𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
4138, 40syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑆𝑛) ∈ 𝑋 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+)))
4241ralimia 3088 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑆𝑛) ∈ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
4328, 42syl 17 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+))
44 heibor.12 . . 3 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
4544fmpt 6544 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ ∈ (𝑋 × ℝ+) ↔ 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
4643, 45sylib 208 1 (𝜑𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wral 3050  wrex 3051  cin 3714  wss 3715  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  cop 4327   cuni 4588   ciun 4672   class class class wbr 4804  {copab 4864  cmpt 4881   × cxp 5264  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  2nd c2nd 7332  Fincfn 8121  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  0cn0 11484  +crp 12025  seqcseq 12995  cexp 13054  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938  CMetcms 23252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055
This theorem is referenced by:  heiborlem8  33930  heiborlem9  33931
  Copyright terms: Public domain W3C validator