Theorem heiborlem7 35097

Description: Lemma for heibor 35101. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem7	⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑟,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘,𝑟)   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘,𝑟)   𝑈(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑟)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11720	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		3pos 11745	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
3	1, 2	elrpii 12395	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ+
4		rpdivcl 12417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
5	3, 4	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
6		2re 11714	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		1lt2 11811	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8		expnlbnd 13597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
9	6, 7, 8	mp3an23 1449	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
11		2nn 11713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		nnnn0 11907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 13445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
16		rpcn 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
17		rpne0 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
18		3cn 11721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		divrec 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
20	18, 19	mp3an1 1444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
21	16, 17, 20	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
23	22	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
24	23	breq1d 5078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟))
25	14	nnrecred 11691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
26		rpre 12400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
27	1, 2	pm3.2i 473	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28		ltmuldiv2 11516	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
29	27, 28	mp3an3 1446	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
30	25, 26, 29	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
31	24, 30	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
32	31	rexbidva 3298	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
33	10, 32	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
34		fveq2 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
35		oveq2 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
36	35	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
37	34, 36	opeq12d 4813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
38		heibor.12	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39		opex 5358	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
40	37, 38, 39	fvmpt 6770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑘) = ⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
41	40	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) = (2nd ‘⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
42		fvex 6685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝑘) ∈ V
43		ovex 7191	. . . . . . 7 ⊢ (3 / (2↑𝑘)) ∈ V
44	42, 43	op2nd 7700	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨(𝑆‘𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩) = (3 / (2↑𝑘))
45	41, 44	syl6eq 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) = (3 / (2↑𝑘)))
46	45	breq1d 5078	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟))
47	46	rexbiia 3248	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
48	33, 47	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟)
49	48	rgen 3150	1 ⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2801   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  𝒫 cpw 4541  ⟨cop 4575  ∪ cuni 4840  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5068  {copab 5130   ↦ cmpt 5148  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  2^nd c2nd 7690  Fincfn 8511  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  ℕ₀cn0 11900  ℝ⁺crp 12392  seqcseq 13372  ↑cexp 13432  ballcbl 20534  MetOpencmopn 20537  CMetccmet 23859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  heiborlem8  35098  heiborlem9  35099