Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem9 33277
Description: Lemma for heibor 33279. Discharge the hypotheses of heiborlem8 33276 by applying caubl 23025 to get a convergent point and adding the open cover assumption. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
heibor.13 (𝜑𝑈𝐽)
heiborlem9.14 (𝜑 𝑈 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
heiborlem9 (𝜑𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem9
Dummy variables 𝑡 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 23003 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 22058 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 heibor.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
65mopntopon 22163 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
74, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
9 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11 heibor.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
12 heibor.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13 heibor.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14 heibor.10 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐺0)
15 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16 heibor.12 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
175, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem5 33273 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
185, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem6 33274 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
195, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem7 33275 . . . . . . . . 9 𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟)
214, 17, 18, 20caubl 23025 . . . . . . 7 (𝜑 → (1st𝑀) ∈ (Cau‘𝐷))
225cmetcau 23006 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (1st𝑀) ∈ (Cau‘𝐷)) → (1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
231, 21, 22syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
245methaus 22244 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
26 lmfun 21104 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
27 funfvbrb 6291 . . . . . . 7 (Fun (⇝𝑡𝐽) → ((1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))))
2923, 28mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)))
30 lmcl 21020 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))) → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑋)
317, 29, 30syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑋)
32 heiborlem9.14 . . . 4 (𝜑 𝑈 = 𝑋)
3331, 32eleqtrrd 2701 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑈)
34 eluni2 4411 . . 3 (((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑡𝑈 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
3533, 34sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑈 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
361adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3711adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3812adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
3913adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
4014adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐶𝐺0)
41 heibor.13 . . . 4 (𝜑𝑈𝐽)
4241adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑈𝐽)
43 fvex 6163 . . 3 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ V
44 simprr 795 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
45 simprl 793 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑡𝑈)
4629adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)))
475, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 40, 15, 16, 42, 43, 44, 45, 46heiborlem8 33276 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝜓)
4835, 47rexlimddv 3029 1 (𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wrex 2908  cin 3558  wss 3559  ifcif 4063  𝒫 cpw 4135  cop 4159   cuni 4407   ciun 4490   class class class wbr 4618  {copab 4677  cmpt 4678  dom cdm 5079  ccom 5083  Fun wfun 5846  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  1st c1st 7118  2nd c2nd 7119  Fincfn 7906  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   < clt 10025  cmin 10217   / cdiv 10635  cn 10971  2c2 11021  3c3 11022  0cn0 11243  +crp 11783  seqcseq 12748  cexp 12807  ∞Metcxmt 19659  Metcme 19660  ballcbl 19661  MetOpencmopn 19664  TopOnctopon 20643  𝑡clm 20949  Hauscha 21031  Caucca 22970  CMetcms 22971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-rest 16011  df-topgen 16032  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-top 20627  df-topon 20644  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lm 20952  df-haus 21038  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-cfil 22972  df-cau 22973  df-cmet 22974
This theorem is referenced by:  heiborlem10  33278
  Copyright terms: Public domain W3C validator