Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfninf 31256
Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 8365 . . 3 ¬ ω ∈ ω
2 elhf2g 31246 . . . 4 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3 ordom 6943 . . . . . . 7 Ord ω
4 elong 5633 . . . . . . 7 (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
53, 4mpbiri 246 . . . . . 6 (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6 r111 8498 . . . . . . . . 9 𝑅1:On–1-1→V
7 f1dm 6002 . . . . . . . . 9 (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom 𝑅1 = On
98eleq2i 2679 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10 rankonid 8552 . . . . . . 7 (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
119, 10bitr3i 264 . . . . . 6 (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
125, 11sylib 206 . . . . 5 (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
1312eleq1d 2671 . . . 4 (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
142, 13bitrd 266 . . 3 (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
151, 14mtbiri 315 . 2 (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16 pm2.01 178 . 2 ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
1715, 16ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  dom cdm 5027  Ord word 5624  Oncon0 5625  1-1wf1 5786  cfv 5789  ωcom 6934  𝑅1cr1 8485  rankcrnk 8486   Hf chf 31242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-reg 8357  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-r1 8487  df-rank 8488  df-hf 31243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator