Theorem hfninf 33642

Description: ω is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfninf	⊢ ¬ ω ∈ Hf

Proof of Theorem hfninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9055	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ ω
2		elhf2g 33632	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ (rank‘ω) ∈ ω))
3		ordom 7583	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		elong 6193	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ On ↔ Ord ω))
5	3, 4	mpbiri 260	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Hf → ω ∈ On)
6		r111 9198	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
7		f1dm 6573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1:On–1-1→V → dom 𝑅1 = On)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝑅1 = On
9	8	eleq2i 2904	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ ω ∈ On)
10		rankonid 9252	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘ω) = ω)
11	9, 10	bitr3i 279	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On ↔ (rank‘ω) = ω)
12	5, 11	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Hf → (rank‘ω) = ω)
13	12	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Hf → ((rank‘ω) ∈ ω ↔ ω ∈ ω))
14	2, 13	bitrd 281	. . 3 ⊢ (ω ∈ Hf → (ω ∈ Hf ↔ ω ∈ ω))
15	1, 14	mtbiri 329	. 2 ⊢ (ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf )
16		pm2.01 191	. 2 ⊢ ((ω ∈ Hf → ¬ ω ∈ Hf ) → ¬ ω ∈ Hf )
17	15, 16	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Hf

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  dom cdm 5549  Ord word 6184  Oncon0 6185  –1-1→wf1 6346  ‘cfv 6349  ωcom 7574  𝑅₁cr1 9185  rankcrnk 9186   Hf chf 33628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-reg 9050  ax-inf2 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-r1 9187  df-rank 9188  df-hf 33629

This theorem is referenced by: (None)