Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lem 30857
Description: Lemma for tgoldbachgtd 30868. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
hgt750lem ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))

Proof of Theorem hgt750lem
StepHypRef Expression
1 7nn0 11352 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2 3re 11132 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3 4re 11135 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
4 8re 11143 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
53, 4pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
6 dp2cl 29715 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → 48 ∈ ℝ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 48 ∈ ℝ
82, 7pm3.2i 470 . . . . . 6 (3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ)
9 dp2cl 29715 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ) → 348 ∈ ℝ)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 348 ∈ ℝ
11 dpcl 29726 . . . . 5 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
121, 10, 11mp2an 708 . . . 4 (7.348) ∈ ℝ
1312a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (7.348) ∈ ℝ)
14 nn0re 11339 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
18 10re 11555 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
19 2nn0 11347 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2019, 1deccl 11550 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℕ0
21 reexpcl 12917 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℝ)
2218, 20, 21mp2an 708 . . . . . . . 8 (10↑27) ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ)
24 0lt1 10588 . . . . . . . . 9 0 < 1
25 1nn 11069 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
26 0nn0 11345 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
27 1nn0 11346 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
28 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
29 9re 11145 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
30 1lt9 11267 . . . . . . . . . . . 12 1 < 9
3128, 29, 30ltleii 10198 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 9
3225, 26, 27, 31declei 11580 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 10
33 expge1 12937 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 10) → 1 ≤ (10↑27))
3418, 20, 32, 33mp3an 1464 . . . . . . . . 9 1 ≤ (10↑27)
3516, 28, 22ltletri 10203 . . . . . . . . 9 ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (10↑27)) → 0 < (10↑27))
3624, 34, 35mp2an 708 . . . . . . . 8 0 < (10↑27)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (10↑27))
38 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ≤ 𝑁)
3917, 23, 15, 37, 38ltletrd 10235 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
4015, 39elrpd 11907 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 24414 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4240rpge0d 11914 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
4315, 42resqrtcld 14200 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
4440sqrtgt0d 14195 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (√‘𝑁))
4517, 44gtned 10210 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ≠ 0)
4641, 43, 45redivcld 10891 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
4713, 46remulcld 10108 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
48 elrp 11872 . . . . . . 7 ((10↑27) ∈ ℝ+ ↔ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑27)))
4922, 36, 48mpbir2an 975 . . . . . 6 (10↑27) ∈ ℝ+
50 relogcl 24367 . . . . . 6 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (log‘(10↑27)) ∈ ℝ)
5149, 50ax-mp 5 . . . . 5 (log‘(10↑27)) ∈ ℝ
5222, 36sqrtpclii 14166 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ∈ ℝ
5322, 36sqrtgt0ii 14167 . . . . . 6 0 < (√‘(10↑27))
5416, 53gtneii 10187 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ≠ 0
5551, 52, 54redivcli 10830 . . . 4 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ
5655a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ)
5713, 56remulcld 10108 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ)
58 qssre 11836 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
59 4nn0 11349 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
60 nn0ssq 11834 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℚ
61 8nn0 11353 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
6260, 61sselii 3633 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℚ
6359, 62dp2clq 29716 . . . . . . . . . . 11 48 ∈ ℚ
6419, 63dp2clq 29716 . . . . . . . . . 10 248 ∈ ℚ
6519, 64dp2clq 29716 . . . . . . . . 9 2248 ∈ ℚ
6659, 65dp2clq 29716 . . . . . . . 8 42248 ∈ ℚ
6726, 66dp2clq 29716 . . . . . . 7 042248 ∈ ℚ
6826, 67dp2clq 29716 . . . . . 6 0042248 ∈ ℚ
6926, 68dp2clq 29716 . . . . 5 00042248 ∈ ℚ
7058, 69sselii 3633 . . . 4 00042248 ∈ ℝ
71 dpcl 29726 . . . 4 ((0 ∈ ℕ000042248 ∈ ℝ) → (0.00042248) ∈ ℝ)
7226, 70, 71mp2an 708 . . 3 (0.00042248) ∈ ℝ
7372a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (0.00042248) ∈ ℝ)
74 3nn0 11348 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
75 8pos 11159 . . . . . . . . . . 11 0 < 8
76 elrp 11872 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℝ+ ↔ (8 ∈ ℝ ∧ 0 < 8))
774, 75, 76mpbir2an 975 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ+
7859, 77rpdp2cl 29717 . . . . . . . . 9 48 ∈ ℝ+
7974, 78rpdp2cl 29717 . . . . . . . 8 348 ∈ ℝ+
801, 79rpdpcl 29739 . . . . . . 7 (7.348) ∈ ℝ+
81 elrp 11872 . . . . . . 7 ((7.348) ∈ ℝ+ ↔ ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348)))
8280, 81mpbi 220 . . . . . 6 ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348))
8382simpri 477 . . . . 5 0 < (7.348)
8416, 12, 83ltleii 10198 . . . 4 0 ≤ (7.348)
8584a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ (7.348))
8649a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ+)
87 2cn 11129 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
8887mulid2i 10081 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
89 2nn 11223 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
9089, 1, 27, 31declei 11580 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 27
91 2pos 11150 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
9220nn0rei 11341 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℝ
93 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
9428, 92, 93lemul1i 10984 . . . . . . . . . . 11 (0 < 2 → (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2)))
9591, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2))
9690, 95mpbi 220 . . . . . . . . 9 (1 · 2) ≤ (27 · 2)
9788, 96eqbrtrri 4708 . . . . . . . 8 2 ≤ (27 · 2)
98 1p1e2 11172 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
99 loge 24378 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
100 egt2lt3 14978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 < e ∧ e < 3)
101100simpri 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 e < 3
102 epr 14980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℝ+
103 3rp 11876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
104 logltb 24391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((e ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3)))
105102, 103, 104mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3))
106101, 105mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) < (log‘3)
10799, 106eqbrtrri 4708 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (log‘3)
108 relogcl 24367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
109103, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘3) ∈ ℝ
11028, 28, 109, 109lt2addi 10628 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 < (log‘3) ∧ 1 < (log‘3)) → (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)))
111107, 107, 110mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3))
112 3cn 11133 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
113 3ne0 11153 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
114 logmul2 24407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℝ+) → (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3)))
115112, 113, 103, 114mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3))
116 3t3e9 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
117116fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘(3 · 3)) = (log‘9)
118 9lt10 11711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 < 10
11929, 18, 118ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ≤ 10
120 9pos 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 9
121 elrp 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 ∈ ℝ+ ↔ (9 ∈ ℝ ∧ 0 < 9))
12229, 120, 121mpbir2an 975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℝ+
123 10pos 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 10
124 elrp 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
12518, 123, 124mpbir2an 975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℝ+
126 logleb 24394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((9 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10)))
127122, 125, 126mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10))
128119, 127mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘9) ≤ (log‘10)
129117, 128eqbrtri 4706 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) ≤ (log‘10)
130115, 129eqbrtrri 4708 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)
13128, 28readdcli 10091 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) ∈ ℝ
132109, 109readdcli 10091 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘3) + (log‘3)) ∈ ℝ
133 relogcl 24367 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ+ → (log‘10) ∈ ℝ)
134125, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘10) ∈ ℝ
135131, 132, 134ltletri 10203 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)) ∧ ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)) → (1 + 1) < (log‘10))
136111, 130, 135mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) < (log‘10)
13798, 136eqbrtrri 4708 . . . . . . . . . 10 2 < (log‘10)
13893, 134ltlei 10197 . . . . . . . . . 10 (2 < (log‘10) → 2 ≤ (log‘10))
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ≤ (log‘10)
14016, 29, 120ltleii 10198 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
14189, 1, 26, 140decltdi 11585 . . . . . . . . . 10 0 < 27
14293, 134, 92lemul2i 10985 . . . . . . . . . 10 (0 < 27 → (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10)))
144139, 143mpbi 220 . . . . . . . 8 (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))
14592, 93remulcli 10092 . . . . . . . . 9 (27 · 2) ∈ ℝ
14620nn0zi 11440 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℤ
147 relogexp 24387 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℝ+27 ∈ ℤ) → (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10)))
148125, 146, 147mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10))
149148, 51eqeltrri 2727 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) ∈ ℝ
15093, 145, 149letri 10204 . . . . . . . 8 ((2 ≤ (27 · 2) ∧ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))) → 2 ≤ (27 · (log‘10)))
15197, 144, 150mp2an 708 . . . . . . 7 2 ≤ (27 · (log‘10))
152 relogef 24374 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (log‘(exp‘2)) = 2)
15393, 152ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘(exp‘2)) = 2
154151, 153, 1483brtr4i 4715 . . . . . 6 (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))
155 rpefcl 14878 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (exp‘2) ∈ ℝ+)
15693, 155ax-mp 5 . . . . . . 7 (exp‘2) ∈ ℝ+
157 logleb 24394 . . . . . . 7 (((exp‘2) ∈ ℝ+ ∧ (10↑27) ∈ ℝ+) → ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))))
158156, 49, 157mp2an 708 . . . . . 6 ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27)))
159154, 158mpbir 221 . . . . 5 (exp‘2) ≤ (10↑27)
160159a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (exp‘2) ≤ (10↑27))
16186, 40, 160, 38logdivsqrle 30856 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ≤ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
16246, 56, 13, 85, 161lemul2ad 11002 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ≤ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
163 3lt10 11717 . . . . . . . 8 3 < 10
164 4lt10 11716 . . . . . . . . 9 4 < 10
165 8lt10 11712 . . . . . . . . 9 8 < 10
16659, 77, 164, 165dp2lt10 29719 . . . . . . . 8 48 < 10
16774, 78, 163, 166dp2lt10 29719 . . . . . . 7 348 < 10
168 7p1e8 11195 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
1691, 79, 61, 167, 168dplti 29741 . . . . . 6 (7.348) < 8
17058, 62sselii 3633 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
17112, 170, 18lttri 10201 . . . . . 6 (((7.348) < 8 ∧ 8 < 10) → (7.348) < 10)
172169, 165, 171mp2an 708 . . . . 5 (7.348) < 10
17327, 26deccl 11550 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℕ0
174173numexp0 15827 . . . . . . . . 9 (10↑0) = 1
175 0z 11426 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
17618, 175, 1463pm3.2i 1259 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
177 1lt10 11719 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
178177, 141pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 27)
179 ltexp2a 12952 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 27)) → (10↑0) < (10↑27))
180176, 178, 179mp2an 708 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑27)
181174, 180eqbrtrri 4708 . . . . . . . 8 1 < (10↑27)
182 loggt0b 24423 . . . . . . . . 9 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27)))
18349, 182ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27))
184181, 183mpbir 221 . . . . . . 7 0 < (log‘(10↑27))
18551, 52divgt0i 10970 . . . . . . 7 ((0 < (log‘(10↑27)) ∧ 0 < (√‘(10↑27))) → 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
186184, 53, 185mp2an 708 . . . . . 6 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))
18712, 18, 55ltmul1i 10980 . . . . . 6 (0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) → ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))))
188186, 187ax-mp 5 . . . . 5 ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
189172, 188mpbi 220 . . . 4 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
19018recni 10090 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
191 expmul 12945 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
192190, 1, 19, 191mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
193 7t2e14 11686 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
194193oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
195192, 194eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
196195fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
197 reexpcl 12917 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (10↑7) ∈ ℝ)
19818, 1, 197mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (10↑7) ∈ ℝ
1991nn0zi 11440 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℤ
200 expgt0 12933 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
20118, 199, 123, 200mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
20216, 198, 201ltleii 10198 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
203 sqrtsq 14054 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
204198, 202, 203mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
205196, 204eqtr3i 2675 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
20627, 59deccl 11550 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
207206nn0zi 11440 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
20818, 207, 1463pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
209 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
21027, 19, 59, 1, 164, 209decltc 11570 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
211177, 210pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
212 ltexp2a 12952 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
213208, 211, 212mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
214 reexpcl 12917 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℕ0) → (10↑14) ∈ ℝ)
21518, 206, 214mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
216 expgt0 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
21718, 207, 123, 216mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
21816, 215, 217ltleii 10198 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
219215, 218pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
22016, 22, 36ltleii 10198 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑27)
22122, 220pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
222 sqrtlt 14046 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
223219, 221, 222mp2an 708 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
224213, 223mpbi 220 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
225205, 224eqbrtrri 4708 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
226198, 201pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))
22752, 53pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27)))
22851, 184pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))
229 ltdiv2 10947 . . . . . . . . 9 ((((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7)) ∧ ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27))) ∧ ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))) → ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))))
230226, 227, 228, 229mp3an 1464 . . . . . . . 8 ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)))
231225, 230mpbi 220 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))
232 6nn 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
233232nngt0i 11092 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 6
23427, 26, 232, 233declt 11568 . . . . . . . . . . . . 13 10 < 16
235 6nn0 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
23627, 235deccl 11550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 ∈ ℕ0
237236nn0rei 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15 16 ∈ ℝ
23825, 235, 26, 123declti 11584 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 16
239 elrp 11872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (16 ∈ ℝ+ ↔ (16 ∈ ℝ ∧ 0 < 16))
240237, 238, 239mpbir2an 975 . . . . . . . . . . . . . 14 16 ∈ ℝ+
241 logltb 24391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ+16 ∈ ℝ+) → (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16)))
242125, 240, 241mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16))
243234, 242mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (log‘10) < (log‘16)
244 2exp4 15841 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑4) = 16
245244fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (log‘16)
246 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
24759nn0zi 11440 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
248 relogexp 24387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2)))
249246, 247, 248mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2))
250245, 249eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . 12 (log‘16) = (4 · (log‘2))
251243, 250breqtri 4710 . . . . . . . . . . 11 (log‘10) < (4 · (log‘2))
252100simpli 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < e
253 logltb 24391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e)))
254246, 102, 253mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e))
255252, 254mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘2) < (log‘e)
256255, 99breqtri 4710 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) < 1
257 4pos 11154 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
258 relogcl 24367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
259246, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (log‘2) ∈ ℝ
260259, 28, 3ltmul2i 10983 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 4 → ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1)))
261257, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1))
262256, 261mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) < (4 · 1)
263 4cn 11136 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
264263mulid1i 10080 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 1) = 4
265262, 264breqtri 4710 . . . . . . . . . . 11 (4 · (log‘2)) < 4
2663, 259remulcli 10092 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) ∈ ℝ
267134, 266, 3lttri 10201 . . . . . . . . . . 11 (((log‘10) < (4 · (log‘2)) ∧ (4 · (log‘2)) < 4) → (log‘10) < 4)
268251, 265, 267mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (log‘10) < 4
269134, 3, 92ltmul2i 10983 . . . . . . . . . . 11 (0 < 27 → ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4)))
270141, 269ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4))
271268, 270mpbi 220 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) < (27 · 4)
272148, 271eqbrtri 4706 . . . . . . . 8 (log‘(10↑27)) < (27 · 4)
27392, 3remulcli 10092 . . . . . . . . . 10 (27 · 4) ∈ ℝ
27451, 273, 198ltdiv1i 10981 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))))
275201, 274ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7)))
276272, 275mpbi 220 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))
27716, 201gtneii 10187 . . . . . . . . 9 (10↑7) ≠ 0
27851, 198, 277redivcli 10830 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∈ ℝ
279273, 198, 277redivcli 10830 . . . . . . . 8 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
28055, 278, 279lttri 10201 . . . . . . 7 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∧ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)))
281231, 276, 280mp2an 708 . . . . . 6 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7))
282 7lt10 11713 . . . . . . . . . 10 7 < 10
283 2lt10 11718 . . . . . . . . . 10 2 < 10
28419, 173, 1, 26, 282, 283decltc 11570 . . . . . . . . 9 27 < 100
285 10nn 11552 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℕ
286285decnncl2 11563 . . . . . . . . . . . 12 100 ∈ ℕ
287286nnrei 11067 . . . . . . . . . . 11 100 ∈ ℝ
28892, 287, 3ltmul1i 10980 . . . . . . . . . 10 (0 < 4 → (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4)))
289257, 288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4))
290284, 289mpbi 220 . . . . . . . 8 (27 · 4) < (100 · 4)
291287, 3remulcli 10092 . . . . . . . . . 10 (100 · 4) ∈ ℝ
292273, 291, 198ltdiv1i 10981 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))))
293201, 292ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)))
294290, 293mpbi 220 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))
295 8nn 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
296 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
297295, 296ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℝ+
29859, 297rpdp2cl 29717 . . . . . . . . . . . . 13 48 ∈ ℝ+
29919, 298rpdp2cl 29717 . . . . . . . . . . . 12 248 ∈ ℝ+
30019, 299rpdp2cl 29717 . . . . . . . . . . 11 2248 ∈ ℝ+
30159, 300dpgti 29742 . . . . . . . . . 10 4 < (4.2248)
30272recni 10090 . . . . . . . . . . . . 13 (0.00042248) ∈ ℂ
303198recni 10090 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑7) ∈ ℂ
304302, 303mulcli 10083 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ
30516, 123gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . 13 10 ≠ 0
306190, 305pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
307287recni 10090 . . . . . . . . . . . . 13 100 ∈ ℂ
308286nnne0i 11093 . . . . . . . . . . . . 13 100 ≠ 0
309307, 308pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
310 divdiv1 10774 . . . . . . . . . . . 12 ((((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)))
311304, 306, 309, 310mp3an 1464 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100))
312302, 303, 190, 305div23i 10821 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / 10) = (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
313312oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
314190, 307mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ∈ ℂ
315190, 307, 305, 308mulne0i 10708 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ≠ 0
316302, 303, 314, 315divassi 10819 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100)))
317 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((10 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10))
318190, 19, 317mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10)
319 sq10 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10↑2) = 100
320319oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((10↑2) · 10) = (100 · 10)
321307, 190mulcomi 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (100 · 10) = (10 · 100)
322318, 320, 3213eqtrri 2678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10 · 100) = (10↑(2 + 1))
323 2p1e3 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
324323oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10↑(2 + 1)) = (10↑3)
325322, 324eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (10 · 100) = (10↑3)
326325oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10↑7) / (10 · 100)) = ((10↑7) / (10↑3))
32774nn0zi 11440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
328199, 327pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
329 expsub 12948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3)))
330306, 328, 329mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3))
331 7cn 11142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 ∈ ℂ
332 4p3e7 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 + 3) = 7
333263, 112, 332addcomli 10266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 4) = 7
334331, 112, 263, 333subaddrii 10408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 − 3) = 4
335334oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = (10↑4)
336326, 330, 3353eqtr2i 2679 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑7) / (10 · 100)) = (10↑4)
337336oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100))) = ((0.00042248) · (10↑4))
338173numexp1 15828 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) = 10
339338oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.42248) · 10)
34059, 300rpdp2cl 29717 . . . . . . . . . . . . . . 15 42248 ∈ ℝ+
34125nnzi 11439 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
34289nnzi 11439 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
34326, 340, 98, 341, 342dpexpp1 29744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.042248) · (10↑2))
34426, 340rpdp2cl 29717 . . . . . . . . . . . . . . 15 042248 ∈ ℝ+
34526, 344, 323, 342, 327dpexpp1 29744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.042248) · (10↑2)) = ((0.0042248) · (10↑3))
34626, 344rpdp2cl 29717 . . . . . . . . . . . . . . 15 0042248 ∈ ℝ+
347 3p1e4 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
34826, 346, 347, 327, 247dpexpp1 29744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.0042248) · (10↑3)) = ((0.00042248) · (10↑4))
349343, 345, 3483eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.00042248) · (10↑4))
35059, 3000dp2dp 29745 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · 10) = (4.2248)
351339, 349, 3503eqtr3i 2681 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑4)) = (4.2248)
352316, 337, 3513eqtri 2677 . . . . . . . . . . 11 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = (4.2248)
353311, 313, 3523eqtr3i 2681 . . . . . . . . . 10 ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100) = (4.2248)
354301, 353breqtrri 4712 . . . . . . . . 9 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
35572, 18, 305redivcli 10830 . . . . . . . . . . 11 ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ
356355, 198remulcli 10092 . . . . . . . . . 10 (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ
357286nngt0i 11092 . . . . . . . . . . 11 0 < 100
358287, 357pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)
359 ltmuldiv2 10935 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ ∧ (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)) → ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)))
3603, 356, 358, 359mp3an 1464 . . . . . . . . 9 ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100))
361354, 360mpbir 221 . . . . . . . 8 (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
362 ltdivmul2 10938 . . . . . . . . 9 (((100 · 4) ∈ ℝ ∧ ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ ∧ ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))) → (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))))
363291, 355, 226, 362mp3an 1464 . . . . . . . 8 (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)))
364361, 363mpbir 221 . . . . . . 7 ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
365291, 198, 277redivcli 10830 . . . . . . . 8 ((100 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
366279, 365, 355lttri 10201 . . . . . . 7 ((((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)) ∧ ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10))
367294, 364, 366mp2an 708 . . . . . 6 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
368226simpli 473 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℝ
369273, 368, 277redivcli 10830 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
37055, 369, 355lttri 10201 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)) ∧ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
371281, 367, 370mp2an 708 . . . . 5 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)
372125, 124mpbi 220 . . . . . 6 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
373 ltmuldiv2 10935 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ ∧ (0.00042248) ∈ ℝ ∧ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)) → ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)))
37455, 72, 372, 373mp3an 1464 . . . . 5 ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
375371, 374mpbir 221 . . . 4 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
37612, 55remulcli 10092 . . . . 5 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
37718, 55remulcli 10092 . . . . 5 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
378376, 377, 72lttri 10201 . . . 4 ((((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∧ (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
379189, 375, 378mp2an 708 . . 3 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
380379a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
38147, 57, 73, 162, 380lelttrd 10233 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  6c6 11112  7c7 11113  8c8 11114  9c9 11115  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  cq 11826  +crp 11870  cexp 12900  csqrt 14017  expce 14836  eceu 14837  logclog 24346  cdp2 29705  .cdp 29723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-dp2 29706  df-dp 29724
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  30866
  Copyright terms: Public domain W3C validator