Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lemd 30854
Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750lemc.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
hgt750lemd (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12812 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 diffi 8233 . . . . 5 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4 vmaf 24890 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6 fz1ssnn 12410 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ⊆ ℕ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
87ssdifssd 3781 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
98sselda 3636 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
105, 9ffvelrnd 6400 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
113, 10fsumrecl 14509 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12 2rp 11875 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
1413relogcld 24414 . . 3 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15 1nn0 11346 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 4re 11135 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
17 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
18 6re 11139 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
1918, 17pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20 dp2cl 29715 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → 62 ∈ ℝ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 62 ∈ ℝ
2217, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ)
23 dp2cl 29715 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 62 ∈ ℝ) → 262 ∈ ℝ)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 262 ∈ ℝ
2516, 24pm3.2i 470 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ)
26 dp2cl 29715 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℝ ∧ 262 ∈ ℝ) → 4262 ∈ ℝ)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 4262 ∈ ℝ
28 dpcl 29726 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ04262 ∈ ℝ) → (1.4262) ∈ ℝ)
2915, 27, 28mp2an 708 . . . . 5 (1.4262) ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1.4262) ∈ ℝ)
31 hgt750lemc.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3231nnred 11073 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3331nnrpd 11908 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3433rpge0d 11914 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
3532, 34resqrtcld 14200 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
3630, 35remulcld 10108 . . 3 (𝜑 → ((1.4262) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37 0nn0 11345 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
38 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
39 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
4038, 39pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41 dp2cl 29715 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 01 ∈ ℝ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 01 ∈ ℝ
4338, 42pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ)
44 dp2cl 29715 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 01 ∈ ℝ) → 001 ∈ ℝ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ
4638, 45pm3.2i 470 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ)
47 dp2cl 29715 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 001 ∈ ℝ) → 0001 ∈ ℝ)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 0001 ∈ ℝ
49 dpcl 29726 . . . . . 6 ((0 ∈ ℕ00001 ∈ ℝ) → (0.0001) ∈ ℝ)
5037, 48, 49mp2an 708 . . . . 5 (0.0001) ∈ ℝ
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℝ)
5251, 35remulcld 10108 . . 3 (𝜑 → ((0.0001) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
5331nnzd 11519 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54 chpvalz 30834 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56 chtvalz 30835 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
5753, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58 inss2 3867 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
6059sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61 vmaprm 24888 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
6362sumeq2dv 14477 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
6457, 63eqtr4d 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
6555, 64oveq12d 6708 . . . . 5 (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
6610recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
673, 66fsumcl 14508 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
68 infi 8225 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
691, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
704a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
71 inss1 3866 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
7271, 6sstri 3645 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
7473sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
7570, 74ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
7675recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
7769, 76fsumcl 14508 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78 inindif 29479 . . . . . . . . 9 (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
7978a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80 inundif 4079 . . . . . . . . . 10 (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
8180eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
834a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
847sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
8583, 84ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
8685recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
8779, 82, 1, 86fsumsplit 14515 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
8877, 67, 87comraddd 10288 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
8967, 77, 88mvrraddd 10483 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
9065, 89eqtr2d 2686 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
91 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
92 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
9391, 92oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
94 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
9594oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((1.4262) · (√‘𝑥)) = ((1.4262) · (√‘𝑁)))
9693, 95breq12d 4698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1.4262) · (√‘𝑁))))
97 ax-ros336 30852 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥))
9897a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1.4262) · (√‘𝑥)))
9996, 98, 33rspcdva 3347 . . . 4 (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1.4262) · (√‘𝑁)))
10090, 99eqbrtrd 4707 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1.4262) · (√‘𝑁)))
10139a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
102 log2le1 24722 . . . . 5 (log‘2) < 1
103102a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) < 1)
104 10nn0 11554 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
105 7nn0 11352 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
106104, 105nn0expcli 12926 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℕ0
107106nn0rei 11341 . . . . . . 7 (10↑7) ∈ ℝ
108107a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑7) ∈ ℝ)
10951, 108remulcld 10108 . . . . 5 (𝜑 → ((0.0001) · (10↑7)) ∈ ℝ)
110104nn0rei 11341 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
111 0z 11426 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
112 3z 11448 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
113110, 111, 1123pm3.2i 1259 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
114 1lt10 11719 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
115 3pos 11152 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
116114, 115pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 3)
117 ltexp2a 12952 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 3)) → (10↑0) < (10↑3))
118113, 116, 117mp2an 708 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑3)
119104numexp0 15827 . . . . . . . . . 10 (10↑0) = 1
120119eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 1 = (10↑0)
121110recni 10090 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℂ
122 10pos 11553 . . . . . . . . . . . 12 0 < 10
12338, 122gtneii 10187 . . . . . . . . . . 11 10 ≠ 0
124 4z 11449 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℤ
125 expm1 12950 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (10↑(4 − 1)) = ((10↑4) / 10))
126121, 123, 124, 125mp3an 1464 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 − 1)) = ((10↑4) / 10)
127 4m1e3 11176 . . . . . . . . . . 11 (4 − 1) = 3
128127oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 (10↑(4 − 1)) = (10↑3)
129 4nn0 11349 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
130104, 129nn0expcli 12926 . . . . . . . . . . . 12 (10↑4) ∈ ℕ0
131130nn0cni 11342 . . . . . . . . . . 11 (10↑4) ∈ ℂ
132 divrec2 10740 . . . . . . . . . . 11 (((10↑4) ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) · (10↑4)))
133131, 121, 123, 132mp3an 1464 . . . . . . . . . 10 ((10↑4) / 10) = ((1 / 10) · (10↑4))
134126, 128, 1333eqtr3ri 2682 . . . . . . . . 9 ((1 / 10) · (10↑4)) = (10↑3)
135118, 120, 1343brtr4i 4715 . . . . . . . 8 1 < ((1 / 10) · (10↑4))
136 1rp 11874 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
137136dp0h 29738 . . . . . . . . 9 (0.1) = (1 / 10)
138137oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((0.1) · (10↑4)) = ((1 / 10) · (10↑4))
139135, 138breqtrri 4712 . . . . . . 7 1 < ((0.1) · (10↑4))
140139a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < ((0.1) · (10↑4)))
141 4p1e5 11192 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
142 5nn0 11350 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
143142nn0zi 11440 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
14437, 136, 141, 124, 143dpexpp1 29744 . . . . . . 7 ((0.1) · (10↑4)) = ((0.01) · (10↑5))
14537, 136rpdp2cl 29717 . . . . . . . 8 01 ∈ ℝ+
146 5p1e6 11193 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
147 6nn0 11351 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
148147nn0zi 11440 . . . . . . . 8 6 ∈ ℤ
14937, 145, 146, 143, 148dpexpp1 29744 . . . . . . 7 ((0.01) · (10↑5)) = ((0.001) · (10↑6))
15037, 145rpdp2cl 29717 . . . . . . . 8 001 ∈ ℝ+
151 6p1e7 11194 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
152105nn0zi 11440 . . . . . . . 8 7 ∈ ℤ
15337, 150, 151, 148, 152dpexpp1 29744 . . . . . . 7 ((0.001) · (10↑6)) = ((0.0001) · (10↑7))
154144, 149, 1533eqtrri 2678 . . . . . 6 ((0.0001) · (10↑7)) = ((0.1) · (10↑4))
155140, 154syl6breqr 4727 . . . . 5 (𝜑 → 1 < ((0.0001) · (10↑7)))
15637, 150rpdp2cl 29717 . . . . . . . 8 0001 ∈ ℝ+
15737, 156rpdpcl 29739 . . . . . . 7 (0.0001) ∈ ℝ+
158157a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℝ+)
159 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
160159, 105deccl 11550 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℕ0
161104, 160nn0expcli 12926 . . . . . . . . . 10 (10↑27) ∈ ℕ0
162161nn0rei 11341 . . . . . . . . 9 (10↑27) ∈ ℝ
163162a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑27) ∈ ℝ)
164161nn0ge0i 11358 . . . . . . . . 9 0 ≤ (10↑27)
165164a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (10↑27))
166163, 165resqrtcld 14200 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(10↑27)) ∈ ℝ)
167 expmul 12945 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
168121, 105, 159, 167mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
169 7t2e14 11686 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
170169oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
171168, 170eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
172171fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
173 expgt0 12933 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
174110, 152, 122, 173mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
17538, 107, 174ltleii 10198 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
176 sqrtsq 14054 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
177107, 175, 176mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
178172, 177eqtr3i 2675 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
17915, 129deccl 11550 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
180179nn0zi 11440 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
181160nn0zi 11440 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℤ
182110, 180, 1813pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
183 4lt10 11716 . . . . . . . . . . . . 13 4 < 10
184 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
18515, 159, 129, 105, 183, 184decltc 11570 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
186114, 185pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
187 ltexp2a 12952 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
188182, 186, 187mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
189104, 179nn0expcli 12926 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑14) ∈ ℕ0
190189nn0rei 11341 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
191 expgt0 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
192110, 180, 122, 191mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
19338, 190, 192ltleii 10198 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
194190, 193pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
195162, 164pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
196 sqrtlt 14046 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
197194, 195, 196mp2an 708 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
198188, 197mpbi 220 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
199178, 198eqbrtrri 4708 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
200199a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (10↑7) < (√‘(10↑27)))
201 hgt750lemd.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
202163, 165, 32, 34sqrtled 14209 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((10↑27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(10↑27)) ≤ (√‘𝑁)))
203201, 202mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(10↑27)) ≤ (√‘𝑁))
204108, 166, 35, 200, 203ltletrd 10235 . . . . . 6 (𝜑 → (10↑7) < (√‘𝑁))
205108, 35, 158, 204ltmul2dd 11966 . . . . 5 (𝜑 → ((0.0001) · (10↑7)) < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
206101, 109, 52, 155, 205lttrd 10236 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
20714, 101, 52, 103, 206lttrd 10236 . . 3 (𝜑 → (log‘2) < ((0.0001) · (√‘𝑁)))
20811, 14, 36, 52, 100, 207lt2addd 10688 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
209 nfv 1883 . . 3 𝑖𝜑
210 nfcv 2793 . . 3 𝑖(log‘2)
211 2prm 15452 . . . 4 2 ∈ ℙ
212211a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
213 elndif 3767 . . . 4 (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214212, 213syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
215 fveq2 6229 . . . 4 (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
216 vmaprm 24888 . . . . 5 (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
217211, 216ax-mp 5 . . . 4 (Λ‘2) = (log‘2)
218215, 217syl6eq 2701 . . 3 (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
219 2cnd 11131 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
220 2ne0 11151 . . . . 5 2 ≠ 0
221220a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
222219, 221logcld 24362 . . 3 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
223209, 210, 3, 212, 214, 66, 218, 222fsumsplitsn 14518 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
224147, 12rpdp2cl 29717 . . . . . 6 62 ∈ ℝ+
225159, 224rpdp2cl 29717 . . . . 5 262 ∈ ℝ+
226 3rp 11876 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
227147, 226rpdp2cl 29717 . . . . . 6 63 ∈ ℝ+
228159, 227rpdp2cl 29717 . . . . 5 263 ∈ ℝ+
229 1p0e1 11171 . . . . 5 (1 + 0) = 1
230 4cn 11136 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
231230addid1i 10261 . . . . . 6 (4 + 0) = 4
232 2cn 11129 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
233232addid1i 10261 . . . . . . 7 (2 + 0) = 2
234 3nn0 11348 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
235 eqid 2651 . . . . . . . . 9 62 = 62
236 eqid 2651 . . . . . . . . 9 01 = 01
237 6cn 11140 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
238237addid1i 10261 . . . . . . . . 9 (6 + 0) = 6
239 2p1e3 11189 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
240147, 159, 37, 15, 235, 236, 238, 239decadd 11608 . . . . . . . 8 (62 + 01) = 63
241147, 159, 37, 15, 147, 234, 240dpadd 29747 . . . . . . 7 ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
242147, 12, 37, 136, 147, 226, 159, 37, 233, 241dpadd2 29746 . . . . . 6 ((2.62) + (0.01)) = (2.63)
243159, 224, 37, 145, 159, 227, 129, 37, 231, 242dpadd2 29746 . . . . 5 ((4.262) + (0.001)) = (4.263)
244129, 225, 37, 150, 129, 228, 15, 37, 229, 243dpadd2 29746 . . . 4 ((1.4262) + (0.0001)) = (1.4263)
245244oveq1i 6700 . . 3 (((1.4262) + (0.0001)) · (√‘𝑁)) = ((1.4263) · (√‘𝑁))
24630recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (1.4262) ∈ ℂ)
24751recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (0.0001) ∈ ℂ)
24835recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
249246, 247, 248adddird 10103 . . 3 (𝜑 → (((1.4262) + (0.0001)) · (√‘𝑁)) = (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
250245, 249syl5eqr 2699 . 2 (𝜑 → ((1.4263) · (√‘𝑁)) = (((1.4262) · (√‘𝑁)) + ((0.0001) · (√‘𝑁))))
251208, 223, 2503brtr4d 4717 1 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1.4263) · (√‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  7c7 11113  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  +crp 11870  ...cfz 12364  cexp 12900  csqrt 14017  Σcsu 14460  cprime 15432  logclog 24346  θccht 24862  Λcvma 24863  ψcchp 24864  cdp2 29705  .cdp 29723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-ros336 30852
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-atan 24639  df-cht 24868  df-vma 24869  df-chp 24870  df-dp2 29706  df-dp 29724
This theorem is referenced by:  hgt750leme  30864
  Copyright terms: Public domain W3C validator