HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcno Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhcno 28633
Description: The continuous operators of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcn.1 𝐷 = (norm ∘ − )
hhcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
hhcno ContOp = (𝐽 Cn 𝐽)

Proof of Theorem hhcno
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2916 . 2 {𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)} = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))}
2 df-cnop 28569 . 2 ContOp = {𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)}
3 hhcn.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = (norm ∘ − )
43hilmetdval 27923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑥 𝑤)))
5 normsub 27870 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑤)) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
64, 5eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
76adantll 749 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
87breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 ↔ (norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧))
9 ffvelrn 6318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑡𝑥) ∈ ℋ)
10 ffvelrn 6318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑡𝑤) ∈ ℋ)
119, 10anim12dan 881 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℋ))
123hilmetdval 27923 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℋ) → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) = (norm‘((𝑡𝑥) − (𝑡𝑤))))
13 normsub 27870 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℋ) → (norm‘((𝑡𝑥) − (𝑡𝑤))) = (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1412, 13eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℋ) → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) = (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) = (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1615anassrs 679 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) = (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1716breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))
188, 17imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
1918ralbidva 2980 . . . . . . . 8 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2019rexbidv 3046 . . . . . . 7 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2120ralbidv 2981 . . . . . 6 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2221ralbidva 2980 . . . . 5 (𝑡: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2322pm5.32i 668 . . . 4 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
243hilxmet 27922 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)
25 hhcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2625, 25metcn 22271 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦))))
2724, 24, 26mp2an 707 . . . 4 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦)))
28 ax-hilex 27726 . . . . . 6 ℋ ∈ V
2928, 28elmap 7838 . . . . 5 (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
3029anbi1i 730 . . . 4 ((𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
3123, 27, 303bitr4i 292 . . 3 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
3231abbi2i 2735 . 2 (𝐽 Cn 𝐽) = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))}
331, 2, 323eqtr4i 2653 1 ContOp = (𝐽 Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911   class class class wbr 4618  ccom 5083  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809   < clt 10026  +crp 11784  ∞Metcxmt 19663  MetOpencmopn 19668   Cn ccn 20951  chil 27646  normcno 27650   cmv 27652  ContOpccop 27673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvmulass 27734  ax-hvdistr1 27735  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737  ax-hfi 27806  ax-his1 27809  ax-his2 27810  ax-his3 27811  ax-his4 27812
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-gdiv 27220  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-vs 27324  df-nmcv 27325  df-ims 27326  df-hnorm 27695  df-hvsub 27698  df-cnop 28569
This theorem is referenced by:  hmopidmchi  28880
  Copyright terms: Public domain W3C validator