HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssabloilem 27988
Description: Lemma for hhssabloi 27989. Formerly part of proof for hhssabloi 27989 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssabloilem ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )

Proof of Theorem hhssabloilem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 27887 . . 3 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 27271 . . 3 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . 2 + ∈ GrpOp
4 hhssabl.1 . . . 4 𝐻S
54elexi 3202 . . 3 𝐻 ∈ V
6 eqid 2621 . . . . . . . 8 ran + = ran +
76grpofo 27223 . . . . . . 7 ( + ∈ GrpOp → + :(ran + × ran + )–onto→ran + )
8 fof 6077 . . . . . . 7 ( + :(ran + × ran + )–onto→ran + → + :(ran + × ran + )⟶ran + )
93, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 + :(ran + × ran + )⟶ran +
104shssii 27940 . . . . . . . 8 𝐻 ⊆ ℋ
11 df-hba 27696 . . . . . . . . 9 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
12 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1312hhva 27893 . . . . . . . . 9 + = ( +𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1411, 13bafval 27329 . . . . . . . 8 ℋ = ran +
1510, 14sseqtri 3621 . . . . . . 7 𝐻 ⊆ ran +
16 xpss12 5191 . . . . . . 7 ((𝐻 ⊆ ran +𝐻 ⊆ ran + ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + ))
1715, 15, 16mp2an 707 . . . . . 6 (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + )
18 fssres 6032 . . . . . 6 (( + :(ran + × ran + )⟶ran + ∧ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + )) → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran + )
199, 17, 18mp2an 707 . . . . 5 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +
20 ffn 6007 . . . . 5 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran + → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻))
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻)
22 ovres 6760 . . . . . 6 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
23 shaddcl 27944 . . . . . . 7 ((𝐻S𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
244, 23mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
2522, 24eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
2625rgen2a 2972 . . . 4 𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27 ffnov 6724 . . . 4 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻) ∧ ∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
2821, 26, 27mpbir2an 954 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
2922oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
30293adant3 1079 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
31 ovres 6760 . . . . 5 (((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧))
3225, 31stoic3 1698 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧))
33 ovres 6760 . . . . . . 7 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑦 + 𝑧))
3433oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
35343adant1 1077 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
3628fovcl 6725 . . . . . . 7 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37 ovres 6760 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻 ∧ (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
3836, 37sylan2 491 . . . . . 6 ((𝑥𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
39383impb 1257 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
4015sseli 3583 . . . . . 6 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ran + )
4115sseli 3583 . . . . . 6 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ran + )
4215sseli 3583 . . . . . 6 (𝑧𝐻𝑧 ∈ ran + )
436grpoass 27227 . . . . . . 7 (( + ∈ GrpOp ∧ (𝑥 ∈ ran +𝑦 ∈ ran +𝑧 ∈ ran + )) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
443, 43mpan 705 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ran +𝑦 ∈ ran +𝑧 ∈ ran + ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4540, 41, 42, 44syl3an 1365 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4635, 39, 453eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
4730, 32, 463eqtr4d 2665 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
48 hilid 27888 . . . 4 (GId‘ + ) = 0
49 sh0 27943 . . . . 5 (𝐻S → 0𝐻)
504, 49ax-mp 5 . . . 4 0𝐻
5148, 50eqeltri 2694 . . 3 (GId‘ + ) ∈ 𝐻
52 ovres 6760 . . . . 5 (((GId‘ + ) ∈ 𝐻𝑥𝐻) → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ + ) + 𝑥))
5351, 52mpan 705 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ + ) + 𝑥))
54 eqid 2621 . . . . . 6 (GId‘ + ) = (GId‘ + )
556, 54grpolid 27240 . . . . 5 (( + ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran + ) → ((GId‘ + ) + 𝑥) = 𝑥)
563, 40, 55sylancr 694 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + ) + 𝑥) = 𝑥)
5753, 56eqtrd 2655 . . 3 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
5812hhnv 27892 . . . . . . 7 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
5912hhsm 27896 . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
60 eqid 2621 . . . . . . . 8 ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = ( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))
6113, 59, 60nvinvfval 27365 . . . . . . 7 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ + ))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ + )
6362eqcomi 2630 . . . . 5 (inv‘ + ) = ( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))
6463fveq1i 6154 . . . 4 ((inv‘ + )‘𝑥) = (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥)
65 ax-hfvmul 27732 . . . . . . 7 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
66 ffn 6007 . . . . . . 7 ( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → · Fn (ℂ × ℋ))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . 6 · Fn (ℂ × ℋ)
68 neg1cn 11076 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
6960curry1val 7222 . . . . . 6 (( · Fn (ℂ × ℋ) ∧ -1 ∈ ℂ) → (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 · 𝑥))
7067, 68, 69mp2an 707 . . . . 5 (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 · 𝑥)
71 shmulcl 27945 . . . . . 6 ((𝐻S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (-1 · 𝑥) ∈ 𝐻)
724, 68, 71mp3an12 1411 . . . . 5 (𝑥𝐻 → (-1 · 𝑥) ∈ 𝐻)
7370, 72syl5eqel 2702 . . . 4 (𝑥𝐻 → (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) ∈ 𝐻)
7464, 73syl5eqel 2702 . . 3 (𝑥𝐻 → ((inv‘ + )‘𝑥) ∈ 𝐻)
75 ovres 6760 . . . . 5 ((((inv‘ + )‘𝑥) ∈ 𝐻𝑥𝐻) → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥))
7674, 75mpancom 702 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥))
77 eqid 2621 . . . . . 6 (inv‘ + ) = (inv‘ + )
786, 54, 77grpolinv 27250 . . . . 5 (( + ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran + ) → (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥) = (GId‘ + ))
793, 40, 78sylancr 694 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥) = (GId‘ + ))
8076, 79eqtrd 2655 . . 3 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (GId‘ + ))
815, 28, 47, 51, 57, 74, 80isgrpoi 27222 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
82 resss 5386 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +
833, 81, 823pm3.2i 1237 1 ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153  cop 4159   × cxp 5077  ccnv 5078  ran crn 5080  cres 5081  ccom 5083   Fn wfn 5847  wf 5848  ontowfo 5850  cfv 5852  (class class class)co 6610  2nd c2nd 7119  cc 9886  1c1 9889  -cneg 10219  GrpOpcgr 27213  GIdcgi 27214  invcgn 27215  AbelOpcablo 27268  NrmCVeccnv 27309  chil 27646   + cva 27647   · csm 27648  normcno 27650  0c0v 27651   S csh 27655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvmulass 27734  ax-hvdistr1 27735  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737  ax-hfi 27806  ax-his1 27809  ax-his2 27810  ax-his3 27811  ax-his4 27812
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-nmcv 27325  df-hnorm 27695  df-hba 27696  df-hvsub 27698  df-sh 27934
This theorem is referenced by:  hhssabloi  27989
  Copyright terms: Public domain W3C validator