HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssnv 27988
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssnv.2 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssnv 𝑊 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5 𝐻S
21hhssabloi 27986 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp
3 ablogrpo 27268 . . . 4 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
51shssii 27937 . . . . . 6 𝐻 ⊆ ℋ
6 xpss12 5191 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
75, 5, 6mp2an 707 . . . . 5 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
8 ax-hfvadd 27724 . . . . . 6 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
98fdmi 6014 . . . . 5 dom + = ( ℋ × ℋ)
107, 9sseqtr4i 3622 . . . 4 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
11 ssdmres 5384 . . . 4 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
1210, 11mpbi 220 . . 3 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
134, 12grporn 27242 . 2 𝐻 = ran ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
14 sh0 27940 . . . . . 6 (𝐻S → 0𝐻)
151, 14ax-mp 5 . . . . 5 0𝐻
16 ovres 6760 . . . . 5 ((0𝐻 ∧ 0𝐻) → (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = (0 + 0))
1715, 15, 16mp2an 707 . . . 4 (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = (0 + 0)
18 ax-hv0cl 27727 . . . . 5 0 ∈ ℋ
1918hvaddid2i 27753 . . . 4 (0 + 0) = 0
2017, 19eqtri 2643 . . 3 (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0
21 eqid 2621 . . . . 5 (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻)))
2213, 21grpoid 27241 . . . 4 ((( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ 0𝐻) → (0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) ↔ (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0))
234, 15, 22mp2an 707 . . 3 (0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) ↔ (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0)
2420, 23mpbir 221 . 2 0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻)))
25 ax-hfvmul 27729 . . . . . 6 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
26 ffn 6007 . . . . . 6 ( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → · Fn (ℂ × ℋ))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 · Fn (ℂ × ℋ)
28 ssid 3608 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
29 xpss12 5191 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ))
3028, 5, 29mp2an 707 . . . . 5 (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ)
31 fnssres 5967 . . . . 5 (( · Fn (ℂ × ℋ) ∧ (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ)) → ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻))
3227, 30, 31mp2an 707 . . . 4 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻)
33 ovelrn 6770 . . . . . . 7 (( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻) → (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦))
35 ovres 6760 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
36 shmulcl 27942 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
371, 36mp3an1 1408 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
3835, 37eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
39 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → (𝑧𝐻 ↔ (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
4038, 39syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → 𝑧𝐻))
4140rexlimivv 3030 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → 𝑧𝐻)
4234, 41sylbi 207 . . . . 5 (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) → 𝑧𝐻)
4342ssriv 3591 . . . 4 ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻
44 df-f 5856 . . . 4 (( · ↾ (ℂ × 𝐻)):(ℂ × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻) ∧ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻))
4532, 43, 44mpbir2an 954 . . 3 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)):(ℂ × 𝐻)⟶𝐻
46 ax-1cn 9945 . . . . 5 1 ∈ ℂ
47 ovres 6760 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (1 · 𝑥))
4846, 47mpan 705 . . . 4 (𝑥𝐻 → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (1 · 𝑥))
491sheli 27938 . . . . 5 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
50 ax-hvmulid 27730 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5149, 50syl 17 . . . 4 (𝑥𝐻 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5248, 51eqtrd 2655 . . 3 (𝑥𝐻 → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
53 id 22 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
541sheli 27938 . . . . 5 (𝑧𝐻𝑧 ∈ ℋ)
55 ax-hvdistr1 27732 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
5653, 49, 54, 55syl3an 1365 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
57 ovres 6760 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
58573adant1 1077 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
5958oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)))
60 shaddcl 27941 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻)
611, 60mp3an1 1408 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻)
62 ovres 6760 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
6361, 62sylan2 491 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
64633impb 1257 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
6559, 64eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
66 ovres 6760 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
67663adant3 1079 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
68 ovres 6760 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧) = (𝑦 · 𝑧))
69683adant2 1078 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧) = (𝑦 · 𝑧))
7067, 69oveq12d 6628 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦 · 𝑧)))
71 shmulcl 27942 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
721, 71mp3an1 1408 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
73723adant3 1079 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
74 shmulcl 27942 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
751, 74mp3an1 1408 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
76753adant2 1078 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
7773, 76ovresd 6761 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦 · 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7870, 77eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7956, 65, 783eqtr4d 2665 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)))
80 ax-hvdistr2 27733 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
8149, 80syl3an3 1358 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
82 addcl 9969 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℂ)
83 ovres 6760 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥))
8482, 83stoic3 1698 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥))
85663adant2 1078 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
86 ovres 6760 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
87863adant1 1077 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
8885, 87oveq12d 6628 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)))
89723adant2 1078 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
90 shmulcl 27942 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
911, 90mp3an1 1408 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
92913adant1 1077 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
9389, 92ovresd 6761 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
9488, 93eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
9581, 84, 943eqtr4d 2665 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)))
96 ax-hvmulass 27731 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
9749, 96syl3an3 1358 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
98 mulcl 9971 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ)
99 ovres 6760 . . . . 5 (((𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥))
10098, 99stoic3 1698 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥))
10187oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)))
102 ovres 6760 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
10391, 102sylan2 491 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻)) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
1041033impb 1257 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
105101, 104eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
10697, 100, 1053eqtr4d 2665 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)))
107 eqid 2621 . . 3 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
1082, 12, 45, 52, 79, 95, 106, 107isvciOLD 27302 . 2 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ CVecOLD
109 normf 27847 . . 3 norm: ℋ⟶ℝ
110 fssres 6032 . . 3 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (norm𝐻):𝐻⟶ℝ)
111109, 5, 110mp2an 707 . 2 (norm𝐻):𝐻⟶ℝ
112 fvres 6169 . . . . 5 (𝑥𝐻 → ((norm𝐻)‘𝑥) = (norm𝑥))
113112eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((norm𝐻)‘𝑥) = 0 ↔ (norm𝑥) = 0))
114 norm-i 27853 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
11549, 114syl 17 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
116113, 115bitrd 268 . . 3 (𝑥𝐻 → (((norm𝐻)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
117116biimpa 501 . 2 ((𝑥𝐻 ∧ ((norm𝐻)‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
118 norm-iii 27864 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
11949, 118sylan2 491 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (norm‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
12066fveq2d 6157 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)))
121 fvres 6169 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻 → ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
12272, 121syl 17 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
123120, 122eqtrd 2655 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
124112adantl 482 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘𝑥) = (norm𝑥))
125124oveq2d 6626 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((abs‘𝑦) · ((norm𝐻)‘𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
126119, 123, 1253eqtr4d 2665 . 2 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((abs‘𝑦) · ((norm𝐻)‘𝑥)))
1271sheli 27938 . . . 4 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
128 norm-ii 27862 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
12949, 127, 128syl2an 494 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
130 ovres 6760 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
131130fveq2d 6157 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) = ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)))
132 shaddcl 27941 . . . . . 6 ((𝐻S𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
1331, 132mp3an1 1408 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
134 fvres 6169 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 → ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
135133, 134syl 17 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
136131, 135eqtrd 2655 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
137 fvres 6169 . . . 4 (𝑦𝐻 → ((norm𝐻)‘𝑦) = (norm𝑦))
138112, 137oveqan12d 6629 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (((norm𝐻)‘𝑥) + ((norm𝐻)‘𝑦)) = ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
139129, 136, 1383brtr4d 4650 . 2 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) ≤ (((norm𝐻)‘𝑥) + ((norm𝐻)‘𝑦)))
140 hhssnvt.1 . 2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
14113, 24, 108, 111, 117, 126, 139, 140isnvi 27335 1 𝑊 ∈ NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3559  cop 4159   class class class wbr 4618   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cle 10026  abscabs 13915  GrpOpcgr 27210  GIdcgi 27211  AbelOpcablo 27265  NrmCVeccnv 27306  chil 27643   + cva 27644   · csm 27645  normcno 27647  0c0v 27648   S csh 27652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-hilex 27723  ax-hfvadd 27724  ax-hvcom 27725  ax-hvass 27726  ax-hv0cl 27727  ax-hvaddid 27728  ax-hfvmul 27729  ax-hvmulid 27730  ax-hvmulass 27731  ax-hvdistr1 27732  ax-hvdistr2 27733  ax-hvmul0 27734  ax-hfi 27803  ax-his1 27806  ax-his2 27807  ax-his3 27808  ax-his4 27809
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-grpo 27214  df-gid 27215  df-ginv 27216  df-ablo 27266  df-vc 27281  df-nv 27314  df-va 27317  df-ba 27318  df-sm 27319  df-0v 27320  df-nmcv 27322  df-hnorm 27692  df-hba 27693  df-hvsub 27695  df-sh 27931
This theorem is referenced by:  hhssnvt  27989  hhssvsf  27997  hhssims  27999  hhssmet  28001  hhssmetdval  28002  hhssbn  28004
  Copyright terms: Public domain W3C validator