HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hicl 27124
Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hicl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl
StepHypRef Expression
1 ax-hfi 27123 . 2 ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
21fovcl 6638 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  (class class class)co 6524  cc 9787  chil 26963   ·ih csp 26966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825  ax-hfi 27123
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-fv 5795  df-ov 6527
This theorem is referenced by:  hicli  27125  his5  27130  his35  27132  his7  27134  his2sub  27136  his2sub2  27137  hire  27138  hi01  27140  abshicom  27145  hi2eq  27149  hial2eq2  27151  bcs2  27226  pjhthlem1  27437  normcan  27622  pjspansn  27623  adjsym  27879  cnvadj  27938  adj2  27980  brafn  27993  kbop  27999  kbmul  28001  kbpj  28002  eigvalcl  28007  lnopeqi  28054  riesz3i  28108  cnlnadjlem2  28114  cnlnadjlem7  28119  nmopcoadji  28147  kbass2  28163  kbass5  28166  kbass6  28167  hmopidmpji  28198  pjclem4  28245  pj3si  28253
  Copyright terms: Public domain W3C validator