Theorem hiidge0 28874

Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hiidge0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 893	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ)
2		df-ne 3017	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℎ)
3		ax-his4 28861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4	2, 3	sylan2br 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
5	4	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6		oveq1 7162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7		hi01 28872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
8	6, 7	sylan9eqr 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
9	8	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
10	9	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
11	5, 10	orim12d 961	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
12	1, 11	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13		0re 10642	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		hiidrcl 28871	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15		leloe 10726	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
16	13, 14, 15	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
17	12, 16	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536   < clt 10674   ≤ cle 10675   ℋchba 28695   ·_ih csp 28698  0_ℎc0v 28700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-hv0cl 28779  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his3 28860  ax-his4 28861

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459

This theorem is referenced by:  normlem5  28890  normlem6  28891  normlem7  28892  normf  28899  normge0  28902  normgt0  28903  normsqi  28908  norm-ii-i  28913  norm-iii-i  28915  bcsiALT  28955  pjhthlem1  29167  cnlnadjlem7  29849  branmfn  29881  leopsq  29905  idleop  29907