Theorem hiidge0 27132

Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hiidge0	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 431	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ)
2		df-ne 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℎ)
3		ax-his4 27119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
4	2, 3	sylan2br 491	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
5	4	ex 448	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0ℎ → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6		oveq1 6533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7		hi01 27130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
8	6, 7	sylan9eqr 2665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
9	8	eqcomd 2615	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0ℎ) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
10	9	ex 448	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
11	5, 10	orim12d 878	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0ℎ ∨ 𝐴 = 0ℎ) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
12	1, 11	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13		0re 9896	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		hiidrcl 27129	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15		leloe 9975	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
16	13, 14, 15	sylancr 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
17	12, 16	mpbird 245	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 194   ∨ wo 381   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  ℝcr 9791  0cc0 9792   < clt 9930   ≤ cle 9931   ℋchil 26953   ·_ih csp 26956  0_ℎc0v 26958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-hv0cl 27037  ax-hvmul0 27044  ax-hfi 27113  ax-his1 27116  ax-his3 27118  ax-his4 27119

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-2 10928  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637

This theorem is referenced by:  normlem5  27148  normlem6  27149  normlem7  27150  normf  27157  normge0  27160  normgt0  27161  normsqi  27166  norm-ii-i  27171  norm-iii-i  27173  bcsiALT  27213  pjhthlem1  27427  cnlnadjlem7  28109  branmfn  28141  leopsq  28165  idleop  28167