HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hiidrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hiidrcl 27130
Description: Real closure of inner product with self. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hiidrcl (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem hiidrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih 𝐴)
2 hire 27129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ·ih 𝐴) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
31, 2mpbiri 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
43anidms 675 1 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6527  cr 9792  chil 26954   ·ih csp 26957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-hfi 27114  ax-his1 27117
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638
This theorem is referenced by:  hiidge0  27133  normlem6  27150  normlem7  27151  bcseqi  27155  normf  27158  normge0  27161  normgt0  27162  normsqi  27167  norm-ii-i  27172  norm-iii-i  27174  bcsiALT  27214  pjhthlem1  27428  eigposi  27873  lnophm  28056  cnlnadjlem7  28110  branmfn  28142
  Copyright terms: Public domain W3C validator