HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilablo 27190
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo + ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 27029 . . 3 ℋ ∈ V
2 ax-hfvadd 27030 . . 3 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3 ax-hvass 27032 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4 ax-hv0cl 27033 . . 3 0 ∈ ℋ
5 hvaddid2 27053 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
6 neg1cn 10878 . . . 4 -1 ∈ ℂ
7 hvmulcl 27043 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 · 𝑥) ∈ ℋ)
86, 7mpan 701 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (-1 · 𝑥) ∈ ℋ)
9 ax-hvcom 27031 . . . . 5 (((-1 · 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = (𝑥 + (-1 · 𝑥)))
108, 9mpancom 699 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = (𝑥 + (-1 · 𝑥)))
11 hvnegid 27057 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (-1 · 𝑥)) = 0)
1210, 11eqtrd 2548 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = 0)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 26475 . 2 + ∈ GrpOp
142fdmi 5850 . 2 dom + = ( ℋ × ℋ)
15 ax-hvcom 27031 . 2 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1613, 14, 15isabloi 26531 1 + ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1938   × cxp 4930  (class class class)co 6425  cc 9688  1c1 9691  -cneg 10017  AbelOpcablo 26524  chil 26949   + cva 26950   · csm 26951  0c0v 26954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-hilex 27029  ax-hfvadd 27030  ax-hvcom 27031  ax-hvass 27032  ax-hv0cl 27033  ax-hvaddid 27034  ax-hfvmul 27035  ax-hvmulid 27036  ax-hvdistr2 27039  ax-hvmul0 27040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-ltxr 9833  df-sub 10018  df-neg 10019  df-grpo 26470  df-ablo 26525  df-hvsub 27001
This theorem is referenced by:  hilid  27191  hilvc  27192  hhnv  27195  hhba  27197  hhph  27208  hhssva  27287  hhsssm  27288  hhssabloilem  27291  hhshsslem1  27297  shsval  27344
  Copyright terms: Public domain W3C validator