Theorem hilablo 28939

Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilablo	⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 28778	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2		ax-hfvadd 28779	. . 3 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3		ax-hvass 28781	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
4		ax-hv0cl 28782	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
5		hvaddid2 28802	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
6		neg1cn 11754	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 28792	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
9		ax-hvcom 28780	. . . . 5 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
10	8, 9	mpancom 686	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)))
11		hvnegid 28806	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑥)) = 0ℎ)
12	10, 11	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝑥) +ℎ 𝑥) = 0ℎ)
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 12	isgrpoi 28277	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
14	2	fdmi 6526	. 2 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
15		ax-hvcom 28780	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
16	13, 14, 15	isabloi 28330	1 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   × cxp 5555  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  1c1 10540  -cneg 10873  AbelOpcablo 28323   ℋchba 28698   +_ℎ cva 28699   ·_ℎ csm 28700  0_ℎc0v 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvcom 28780  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-grpo 28272  df-ablo 28324  df-hvsub 28750

This theorem is referenced by:  hilid  28940  hilvc  28941  hhnv  28944  hhba  28946  hhph  28957  hhssva  29036  hhsssm  29037  hhssabloilem  29040  hhshsslem1  29046  shsval  29091