HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilablo 28145
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo + ∈ AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 27984 . . 3 ℋ ∈ V
2 ax-hfvadd 27985 . . 3 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
3 ax-hvass 27987 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4 ax-hv0cl 27988 . . 3 0 ∈ ℋ
5 hvaddid2 28008 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
6 neg1cn 11162 . . . 4 -1 ∈ ℂ
7 hvmulcl 27998 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (-1 · 𝑥) ∈ ℋ)
86, 7mpan 706 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (-1 · 𝑥) ∈ ℋ)
9 ax-hvcom 27986 . . . . 5 (((-1 · 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = (𝑥 + (-1 · 𝑥)))
108, 9mpancom 704 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = (𝑥 + (-1 · 𝑥)))
11 hvnegid 28012 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (-1 · 𝑥)) = 0)
1210, 11eqtrd 2685 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((-1 · 𝑥) + 𝑥) = 0)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 27480 . 2 + ∈ GrpOp
142fdmi 6090 . 2 dom + = ( ℋ × ℋ)
15 ax-hvcom 27986 . 2 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1613, 14, 15isabloi 27533 1 + ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030   × cxp 5141  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975  -cneg 10305  AbelOpcablo 27526  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906  0c0v 27909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-grpo 27475  df-ablo 27527  df-hvsub 27956
This theorem is referenced by:  hilid  28146  hilvc  28147  hhnv  28150  hhba  28152  hhph  28163  hhssva  28242  hhsssm  28243  hhssabloilem  28246  hhshsslem1  28252  shsval  28299
  Copyright terms: Public domain W3C validator