Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hilbert1.1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilbert1.1 33512
Description: There is a line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.1 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
hilbert1.1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hilbert1.1
Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 simp2 1129 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 simp3 1130 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
4 eqidd 2819 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))
5 neeq1 3075 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑞𝑃𝑞))
6 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝Line𝑞) = (𝑃Line𝑞))
76eqeq2d 2829 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)))
85, 7anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ (𝑃𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞))))
9 neeq2 3076 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃𝑞𝑃𝑄))
10 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃Line𝑞) = (𝑃Line𝑄))
1110eqeq2d 2829 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄)))
129, 11anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))))
138, 12rspc2ev 3632 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
141, 2, 3, 4, 13syl112anc 1366 . . . 4 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
15 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝔼‘𝑛) = (𝔼‘𝑁))
1615rexeqdv 3414 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
1715, 16rexeqbidv 3400 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
1817rspcev 3620 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
1914, 18sylan2 592 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
20 ellines 33510 . . 3 ((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
2119, 20sylibr 235 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → (𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE)
22 linerflx1 33507 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄))
23 linerflx2 33509 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))
24 eleq2 2898 . . . 4 (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄)))
25 eleq2 2898 . . . 4 (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑄𝑥𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄)))
2624, 25anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))))
2726rspcev 3620 . 2 (((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
2821, 22, 23, 27syl12anc 832 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cfv 6348  (class class class)co 7145  cn 11626  𝔼cee 26601  Linecline2 33492  LinesEEclines2 33494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-ee 26604  df-btwn 26605  df-cgr 26606  df-colinear 33397  df-line2 33495  df-lines2 33497
This theorem is referenced by:  linethrueu  33514
  Copyright terms: Public domain W3C validator