Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilcompl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilcompl 28359
 Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 28360 from ZFC Hilbert space theory. The first five hypotheses would be satisfied by the definitions described in ax-hilex 28157; the 6th would be satisfied by eqid 2752; the 7th by a given fixed Hilbert space; and the last by theorem hlcompl 28072. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hilcompl.1 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilcompl.2 + = ( +𝑣𝑈)
hilcompl.3 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
hilcompl.4 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
hilcompl.5 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hilcompl.6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hilcompl.7 𝑈 ∈ CHilOLD
hilcompl.8 (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
Assertion
Ref Expression
hilcompl (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hilcompl
StepHypRef Expression
1 hilcompl.1 . . 3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
2 hilcompl.2 . . 3 + = ( +𝑣𝑈)
3 hilcompl.3 . . 3 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 hilcompl.4 . . 3 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
5 hilcompl.7 . . . 4 𝑈 ∈ CHilOLD
65hlnvi 28049 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
71, 2, 3, 4, 6hilhhi 28322 . 2 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
8 hilcompl.5 . 2 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9 hilcompl.6 . 2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10 hilcompl.8 . 2 (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
117, 8, 9, 10hhcmpl 28358 1 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∃wrex 3043   class class class wbr 4796  ‘cfv 6041  MetOpencmopn 19930  ⇝𝑡clm 21224  Caucca 23243   +𝑣 cpv 27741  BaseSetcba 27742   ·𝑠OLD cns 27743  IndMetcims 27747  ·𝑖OLDcdip 27856  CHilOLDchlo 28042   ℋchil 28077   +ℎ cva 28078   ·ℎ csm 28079   ·ih csp 28080  Cauchyccau 28084   ⇝𝑣 chli 28085 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hvcom 28159  ax-hvass 28160  ax-hv0cl 28161  ax-hvaddid 28162  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulid 28164  ax-hvmulass 28165  ax-hvdistr1 28166  ax-hvdistr2 28167  ax-hvmul0 28168  ax-hfi 28237  ax-his1 28240  ax-his2 28241  ax-his3 28242  ax-his4 28243 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-lm 21227  df-cau 23246  df-grpo 27648  df-gid 27649  df-ginv 27650  df-gdiv 27651  df-ablo 27700  df-vc 27715  df-nv 27748  df-va 27751  df-ba 27752  df-sm 27753  df-0v 27754  df-vs 27755  df-nmcv 27756  df-ims 27757  df-dip 27857  df-cbn 28020  df-hlo 28043  df-hnorm 28126  df-hvsub 28129  df-hlim 28130  df-hcau 28131 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator