HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his2sub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his2sub2 27811
Description: Distributive law for inner product of vector subtraction. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his2sub2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his2sub2
StepHypRef Expression
1 his2sub 27810 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴)))
21fveq2d 6154 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))))
3 hicl 27798 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
4 hicl 27798 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5 cjsub 13826 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
63, 4, 5syl2an 494 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
763impdir 1379 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) − (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
82, 7eqtrd 2655 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
983comr 1270 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
10 hvsubcl 27735 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℋ)
11 ax-his1 27800 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
1210, 11sylan2 491 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
13123impb 1257 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = (∗‘((𝐵 𝐶) ·ih 𝐴)))
14 ax-his1 27800 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
15143adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
16 ax-his1 27800 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
17163adant2 1078 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
1815, 17oveq12d 6625 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) − (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
199, 13, 183eqtr4d 2665 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐴 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cmin 10213  ccj 13773  chil 27637   ·ih csp 27640   cmv 27643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-hfvadd 27718  ax-hfvmul 27723  ax-hfi 27797  ax-his1 27800  ax-his2 27801  ax-his3 27802
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-2 11026  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-hvsub 27689
This theorem is referenced by:  pjhthlem1  28111  riesz4i  28783
  Copyright terms: Public domain W3C validator