Theorem his6 28878

Description: Zero inner product with self means vector is zero. Lemma 3.1(S6) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his6	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Proof of Theorem his6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his4 28864	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
2	1	gt0ne0d 11206	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
3	2	ex 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0))
4	3	necon4d 3042	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
5		hi01 28875	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)
6		oveq1 7165	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴))
7	6	eqeq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0ℎ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (0ℎ ·ih 𝐴) = 0))
8	5, 7	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
9	4, 8	impbid 214	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  (class class class)co 7158  0cc0 10539   ℋchba 28698   ·_ih csp 28701  0_ℎc0v 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-hv0cl 28782  ax-hvmul0 28789  ax-hfi 28858  ax-his3 28863  ax-his4 28864

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682

This theorem is referenced by:  hial0  28881  hial02  28882  hi2eq  28884  bcseqi  28899  ocin  29075  h1de2bi  29333  h1de2ctlem  29334  normcan  29355  unopf1o  29695  riesz3i  29841