HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his6 27122
Description: Zero inner product with self means vector is zero. Lemma 3.1(S6) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his6 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem his6
StepHypRef Expression
1 ax-his4 27108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
21gt0ne0d 10344 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
32ex 448 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0))
43necon4d 2710 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 → 𝐴 = 0))
5 hi01 27119 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
6 oveq1 6438 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴))
76eqeq1d 2516 . . 3 (𝐴 = 0 → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (0 ·ih 𝐴) = 0))
85, 7syl5ibrcom 235 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0))
94, 8impbid 200 1 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ·ih 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  (class class class)co 6431  0cc0 9695  chil 26942   ·ih csp 26945  0c0v 26947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-resscn 9752  ax-1cn 9753  ax-icn 9754  ax-addcl 9755  ax-addrcl 9756  ax-mulcl 9757  ax-mulrcl 9758  ax-mulcom 9759  ax-addass 9760  ax-mulass 9761  ax-distr 9762  ax-i2m1 9763  ax-1ne0 9764  ax-1rid 9765  ax-rnegex 9766  ax-rrecex 9767  ax-cnre 9768  ax-pre-lttri 9769  ax-pre-lttrn 9770  ax-pre-ltadd 9771  ax-hv0cl 27026  ax-hvmul0 27033  ax-hfi 27102  ax-his3 27107  ax-his4 27108
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-ov 6434  df-er 7509  df-en 7722  df-dom 7723  df-sdom 7724  df-pnf 9835  df-mnf 9836  df-ltxr 9838
This theorem is referenced by:  hial0  27125  hial02  27126  hi2eq  27128  bcseqi  27143  ocin  27321  h1de2bi  27579  h1de2ctlem  27580  normcan  27601  unopf1o  27941  riesz3i  28087
  Copyright terms: Public domain W3C validator