HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hisubcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hisubcomi 27807
Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hisubcom.1 𝐴 ∈ ℋ
hisubcom.2 𝐵 ∈ ℋ
hisubcom.3 𝐶 ∈ ℋ
hisubcom.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hisubcomi ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))

Proof of Theorem hisubcomi
StepHypRef Expression
1 hisubcom.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
2 hisubcom.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
31, 2hvnegdii 27765 . . 3 (-1 · (𝐵 𝐴)) = (𝐴 𝐵)
4 hisubcom.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
5 hisubcom.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
64, 5hvnegdii 27765 . . 3 (-1 · (𝐷 𝐶)) = (𝐶 𝐷)
73, 6oveq12i 6616 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷))
8 neg1cn 11068 . . . 4 -1 ∈ ℂ
91, 2hvsubcli 27724 . . . 4 (𝐵 𝐴) ∈ ℋ
104, 5hvsubcli 27724 . . . 4 (𝐷 𝐶) ∈ ℋ
118, 8, 9, 10his35i 27792 . . 3 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
12 neg1rr 11069 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
13 cjre 13813 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘-1) = -1
1514oveq2i 6615 . . . . 5 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
16 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1716, 16mul2negi 10422 . . . . 5 (-1 · -1) = (1 · 1)
18 1t1e1 11119 . . . . 5 (1 · 1) = 1
1915, 17, 183eqtri 2647 . . . 4 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2019oveq1i 6614 . . 3 ((-1 · (∗‘-1)) · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)))
219, 10hicli 27784 . . . 4 ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶)) ∈ ℂ
2221mulid2i 9987 . . 3 (1 · ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
2311, 20, 223eqtri 2647 . 2 ((-1 · (𝐵 𝐴)) ·ih (-1 · (𝐷 𝐶))) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
247, 23eqtr3i 2645 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 𝐴) ·ih (𝐷 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   · cmul 9885  -cneg 10211  ccj 13770  chil 27622   · csm 27624   ·ih csp 27625   cmv 27628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his3 27787
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-hvsub 27674
This theorem is referenced by:  lnophmlem2  28722
  Copyright terms: Public domain W3C validator