Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlathil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlathil 36074
Description: Construction of a Hilbert space (df-hil 19809) 𝑈 from a Hilbert lattice (df-hlat 33459) 𝐾, where 𝑊 is a fixed but arbitrary hyperplane (co-atom) in 𝐾.

The Hilbert space 𝑈 is identical to the vector space ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) (see dvhlvec 35219) except that it is extended with involution and inner product components. The construction of these two components is provided by Theorem 3.6 in [Holland95] p. 13, whose proof we follow loosely.

An example of involution is the complex conjugate when the division ring is the field of complex numbers. The nature of the division ring we constructed is indeterminate, however, until we specialize the initial Hilbert lattice with additional conditions found by Maria Solèr in 1995 and refined by René Mayet in 1998 that result in a division ring isomorphic to . See additional discussion at http://us.metamath.org/qlegif/mmql.html#what.

𝑊 corresponds to the w in the proof of Theorem 13.4 of [Crawley] p. 111. Such a 𝑊 always exists since HL has lattice rank of at least 4 by df-hil 19809. It can be eliminated if we just want to show the existence of a Hilbert space, as is done in the literature. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
hlhilphl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilphllem.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlathil (𝜑𝑈 ∈ Hil)

Proof of Theorem hlathil
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilphl.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhilphllem.u . 2 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhilphl.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 eqid 2609 . 2 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2609 . 2 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2609 . 2 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7 eqid 2609 . 2 (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8 eqid 2609 . 2 ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9 eqid 2609 . 2 (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
10 eqid 2609 . 2 (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11 eqid 2609 . 2 (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
12 eqid 2609 . 2 (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13 eqid 2609 . 2 (0g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
14 eqid 2609 . 2 (0g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15 eqid 2609 . 2 (·𝑖𝑈) = (·𝑖𝑈)
16 eqid 2609 . 2 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17 eqid 2609 . 2 ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18 eqid 2609 . 2 (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)), 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
19 eqid 2609 . 2 (ocv‘𝑈) = (ocv‘𝑈)
20 eqid 2609 . 2 (CSubSp‘𝑈) = (CSubSp‘𝑈)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20hlhilhillem 36073 1 (𝜑𝑈 ∈ Hil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  cmpt2 6529  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  .rcmulr 15715  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  ·𝑖cip 15719  0gc0g 15869  ocvcocv 19765  CSubSpccss 19766  Hilchs 19806  HLchlt 33458  LHypclh 34091  DVecHcdvh 35188  HDMapchdma 35903  HGMapchg 35996  HLHilchlh 36045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33060
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-0g 15871  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-oppg 17545  df-lsm 17820  df-pj1 17821  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-rnghom 18484  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-staf 18614  df-srng 18615  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lmhm 18789  df-lvec 18870  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-phl 19735  df-ocv 19768  df-css 19769  df-pj 19808  df-hil 19809  df-lsatoms 33084  df-lshyp 33085  df-lcv 33127  df-lfl 33166  df-lkr 33194  df-ldual 33232  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-llines 33605  df-lplanes 33606  df-lvols 33607  df-lines 33608  df-psubsp 33610  df-pmap 33611  df-padd 33903  df-lhyp 34095  df-laut 34096  df-ldil 34211  df-ltrn 34212  df-trl 34267  df-tgrp 34852  df-tendo 34864  df-edring 34866  df-dveca 35112  df-disoa 35139  df-dvech 35189  df-dib 35249  df-dic 35283  df-dih 35339  df-doch 35458  df-djh 35505  df-lcdual 35697  df-mapd 35735  df-hvmap 35867  df-hdmap1 35904  df-hdmap 35905  df-hgmap 35997  df-hlhil 36046
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator