Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatjass 34175
Description: Lattice join is associative. Frequently-used special case of latjass 17035 for atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatjass ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))

Proof of Theorem hlatjass
StepHypRef Expression
1 hllat 34169 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr1 1065 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 hlatjcom.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 34095 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8 simpr2 1066 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
94, 5atbase 34095 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpr3 1067 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
124, 5atbase 34095 . . 3 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
154, 14latjass 17035 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
162, 7, 10, 13, 15syl13anc 1325 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  joincjn 16884  Latclat 16985  Atomscatm 34069  HLchlt 34156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-lat 16986  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157
This theorem is referenced by:  hlatj12  34176  4noncolr3  34258  3dim3  34274  3atlem1  34288  3atlem2  34289  4atlem4a  34404  dalemply  34459  dalemsly  34460  dalawlem6  34681  dalawlem11  34686  dalawlem12  34687  4atexlemc  34874  cdleme20c  35118  cdleme35b  35257  dia2dimlem2  35873
  Copyright terms: Public domain W3C validator