Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatjidm 34162
Description: Idempotence of join operation. Frequently-used special case of latjcom 16987 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatjidm ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem hlatjidm
StepHypRef Expression
1 hllat 34157 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 hlatjcom.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 34083 . 2 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
62, 5latjidm 17002 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
71, 4, 6syl2an 494 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  joincjn 16872  Latclat 16973  Atomscatm 34057  HLchlt 34144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-preset 16856  df-poset 16874  df-lub 16902  df-glb 16903  df-join 16904  df-meet 16905  df-lat 16974  df-ats 34061  df-atl 34092  df-cvlat 34116  df-hlat 34145
This theorem is referenced by:  atcvr0eq  34219  lnnat  34220  atcvrj0  34221  atltcvr  34228  3dim2  34261  3dim3  34262  islln2a  34310  2at0mat0  34318  lplnnle2at  34334  lplnnleat  34335  islpln2a  34341  lvolnle3at  34375  lvolnleat  34376  lvolnlelln  34377  2atnelvolN  34380  islvol2aN  34385  dalempnes  34444  dalemqnet  34445  2llnma3r  34581  dalawlem12  34675  4atex2-0aOLDN  34871  idltrn  34943  trl0  34964  trlval3  34981  cdleme3b  35023  cdleme11h  35060  cdleme16c  35074  cdleme18b  35086  cdleme20j  35113  cdleme42ke  35280  cdleme50trn3  35348  cdlemb3  35401  cdlemg8a  35422  trlcone  35523  dia2dimlem13  35872
  Copyright terms: Public domain W3C validator