Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjrot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatjrot 35180
Description: Rotate lattice join of 3 classes. Frequently-used special case of latjrot 17321 for atoms. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatjrot ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑅 𝑃) 𝑄))

Proof of Theorem hlatjrot
StepHypRef Expression
1 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 hlatjcom.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2hlatj32 35179 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
41, 2hlatjcom 35175 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
543adant3r2 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
65oveq1d 6829 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑄) = ((𝑅 𝑃) 𝑄))
73, 6eqtrd 2794 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑅 𝑃) 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  joincjn 17165  Atomscatm 35071  HLchlt 35158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-lat 17267  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159
This theorem is referenced by:  dalemqrprot  35455  dalemrot  35464  dalemrotyz  35465  dalem11  35481  dalem12  35482  dalem39  35518  dalem58  35537  dalem59  35538  dath2  35544  dalawlem13  35690
  Copyright terms: Public domain W3C validator