Theorem hlatlej1 35133

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 17232 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 35122	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2748	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 35048	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 35048	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 17232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1505	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  lecple 16121  joincjn 17116  Latclat 17217  Atomscatm 35022  HLchlt 35109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-lub 17146  df-join 17148  df-lat 17218  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110

This theorem is referenced by:  hlatlej2  35134  cvratlem  35179  cvrat4  35201  ps-2  35236  lplnllnneN  35314  dalem1  35417  lnatexN  35537  lncmp  35541  2atm2atN  35543  2llnma3r  35546  dalawlem3  35631  dalawlem6  35634  dalawlem7  35635  dalawlem12  35640  trlval4  35947  cdlemc5  35954  cdlemc6  35955  cdlemd3  35959  cdleme0cp  35973  cdleme3h  35994  cdleme5  35999  cdleme9  36012  cdleme11c  36020  cdleme15b  36034  cdleme17b  36046  cdleme19a  36062  cdleme20c  36070  cdleme20j  36077  cdleme21c  36086  cdleme22b  36100  cdleme22d  36102  cdleme22e  36103  cdleme22eALTN  36104  cdleme35e  36212  cdleme35f  36213  cdleme42a  36230  cdleme17d2  36254  cdlemeg46req  36288  cdlemg13a  36410  cdlemg17a  36420  cdlemg18b  36438  cdlemg27a  36451  trlcoabs2N  36481  cdlemg42  36488  cdlemk4  36593  cdlemk1u  36618  cdlemk39  36675  dia2dimlem1  36824  dia2dimlem2  36825  dia2dimlem3  36826  cdlemm10N  36878  cdlemn10  36966  dihjatcclem1  37178