Theorem hlatlej2 34142

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 16982 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 34141	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1268	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 34134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 4641	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  lecple 15869  joincjn 16865  Atomscatm 34030  HLchlt 34117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-lub 16895  df-join 16897  df-lat 16967  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118

This theorem is referenced by:  2llnne2N  34174  cvrat3  34208  cvrat4  34209  hlatexch3N  34246  hlatexch4  34247  dalem3  34430  dalem25  34464  lnatexN  34545  lncmp  34549  2llnma3r  34554  paddasslem5  34590  dalawlem3  34639  dalawlem6  34642  dalawlem7  34643  dalawlem12  34648  lhp2atne  34800  lhp2at0ne  34802  4atexlemunv  34832  cdlemc2  34959  cdlemc5  34962  cdleme3h  35002  cdleme7  35016  cdleme9  35020  cdleme11c  35028  cdleme11dN  35029  cdleme11j  35034  cdleme16b  35046  cdleme17b  35054  cdleme18a  35058  cdleme18b  35059  cdleme18c  35060  cdleme20yOLD  35070  cdleme19a  35071  cdleme20d  35080  cdleme20j  35086  cdleme21ct  35097  cdleme22a  35108  cdleme22e  35112  cdleme22eALTN  35113  cdleme35b  35218  cdlemg9a  35400  cdlemg12a  35411  cdlemg13a  35419  cdlemg17a  35429  cdlemg17g  35435  cdlemg18c  35448  cdlemg33b0  35469  cdlemg46  35503  cdlemh1  35583  cdlemh  35585  cdlemk4  35602  cdlemki  35609  cdlemksv2  35615  cdlemk12  35618  cdlemk15  35623  cdlemk12u  35640  cdlemkid1  35690  dia2dimlem1  35833  dia2dimlem3  35835  cdlemn10  35975  dihjatcclem1  36187