Theorem hlatlej2 36514

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 17673 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 36513	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 36506	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5096	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  lecple 16574  joincjn 17556  Atomscatm 36401  HLchlt 36488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-lub 17586  df-join 17588  df-lat 17658  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489

This theorem is referenced by:  2llnne2N  36546  cvrat3  36580  cvrat4  36581  hlatexch3N  36618  hlatexch4  36619  dalem3  36802  dalem25  36836  lnatexN  36917  lncmp  36921  2llnma3r  36926  paddasslem5  36962  dalawlem3  37011  dalawlem6  37014  dalawlem7  37015  dalawlem12  37020  lhp2atne  37172  lhp2at0ne  37174  4atexlemunv  37204  cdlemc2  37330  cdlemc5  37333  cdleme3h  37373  cdleme7  37387  cdleme9  37391  cdleme11c  37399  cdleme11dN  37400  cdleme11j  37405  cdleme16b  37417  cdleme17b  37425  cdleme18a  37429  cdleme18b  37430  cdleme18c  37431  cdleme19a  37441  cdleme20d  37450  cdleme20j  37456  cdleme21ct  37467  cdleme22a  37478  cdleme22e  37482  cdleme22eALTN  37483  cdleme35b  37588  cdlemg9a  37770  cdlemg12a  37781  cdlemg13a  37789  cdlemg17a  37799  cdlemg17g  37805  cdlemg18c  37818  cdlemg33b0  37839  cdlemg46  37873  cdlemh1  37953  cdlemh  37955  cdlemk4  37972  cdlemki  37979  cdlemksv2  37985  cdlemk12  37988  cdlemk15  37993  cdlemk12u  38010  cdlemkid1  38060  dia2dimlem1  38202  dia2dimlem3  38204  cdlemn10  38344  dihjatcclem1  38556