Theorem hlatlej2 35165

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 17262 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 35164	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1121	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 35157	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 4832	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  lecple 16150  joincjn 17145  Atomscatm 35053  HLchlt 35140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-lub 17175  df-join 17177  df-lat 17247  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141

This theorem is referenced by:  2llnne2N  35197  cvrat3  35231  cvrat4  35232  hlatexch3N  35269  hlatexch4  35270  dalem3  35453  dalem25  35487  lnatexN  35568  lncmp  35572  2llnma3r  35577  paddasslem5  35613  dalawlem3  35662  dalawlem6  35665  dalawlem7  35666  dalawlem12  35671  lhp2atne  35823  lhp2at0ne  35825  4atexlemunv  35855  cdlemc2  35982  cdlemc5  35985  cdleme3h  36025  cdleme7  36039  cdleme9  36043  cdleme11c  36051  cdleme11dN  36052  cdleme11j  36057  cdleme16b  36069  cdleme17b  36077  cdleme18a  36081  cdleme18b  36082  cdleme18c  36083  cdleme19a  36093  cdleme20d  36102  cdleme20j  36108  cdleme21ct  36119  cdleme22a  36130  cdleme22e  36134  cdleme22eALTN  36135  cdleme35b  36240  cdlemg9a  36422  cdlemg12a  36433  cdlemg13a  36441  cdlemg17a  36451  cdlemg17g  36457  cdlemg18c  36470  cdlemg33b0  36491  cdlemg46  36525  cdlemh1  36605  cdlemh  36607  cdlemk4  36624  cdlemki  36631  cdlemksv2  36637  cdlemk12  36640  cdlemk15  36645  cdlemk12u  36662  cdlemkid1  36712  dia2dimlem1  36855  dia2dimlem3  36857  cdlemn10  36997  dihjatcclem1  37209