MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcgreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcgreu 26331
Description: The point constructed in hlcgrex 26329 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hlcgrex.m = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1 (𝜑𝐷𝐴)
hlcgrex.2 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlcgreu (𝜑 → ∃!𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgreu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
5 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
6 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
7 hlln.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 hltr.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
9 hlcgrex.m . . 3 = (dist‘𝐺)
10 hlcgrex.1 . . 3 (𝜑𝐷𝐴)
11 hlcgrex.2 . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11hlcgrex 26329 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
134ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐴𝑃)
145ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐵𝑃)
156ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐶𝑃)
167ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
178ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐷𝑃)
1810ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐷𝐴)
1911ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐵𝐶)
20 simpllr 772 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥𝑃)
21 simplr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑦𝑃)
22 simprll 775 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥(𝐾𝐴)𝐷)
23 simprrl 777 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑦(𝐾𝐴)𝐷)
24 simprlr 776 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))
25 simprrr 778 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))
261, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hlcgreulem 26330 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥 = 𝑦)
2726ex 413 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) → (((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
2827ralrimiva 3179 . . 3 ((𝜑𝑥𝑃) → ∀𝑦𝑃 (((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
2928ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃 (((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
30 breq1 5060 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(𝐾𝐴)𝐷𝑦(𝐾𝐴)𝐷))
31 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑦))
3231eqeq1d 2820 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶) ↔ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))
3330, 32anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ↔ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))))
3433reu4 3719 . 2 (∃!𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ↔ (∃𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃 (((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦)))
3512, 29, 34sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  ∃!wreu 3137   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  hlGchlg 26313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-hlg 26314
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator