MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcgrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcgrex 25411
Description: Construct a point on a half-line, at a given distance of its origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hlcgrex.m = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1 (𝜑𝐷𝐴)
hlcgrex.2 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlcgrex (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgrex
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hlcgrex.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 ishlg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hlln.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 simplr 791 . . . 4 (((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) → 𝑦𝑃)
7 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
87ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) → 𝐴𝑃)
9 ishlg.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
109ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) → 𝐵𝑃)
11 ishlg.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1211ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) → 𝐶𝑃)
131, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12axtgsegcon 25263 . . 3 (((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) → ∃𝑥𝑃 (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
145ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1510ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐵𝑃)
1612ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐶𝑃)
17 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥𝑃)
188ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐴𝑃)
19 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))
201, 2, 3, 14, 18, 17, 15, 16, 19tgcgrcoml 25274 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → (𝑥 𝐴) = (𝐵 𝐶))
2120eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) = (𝑥 𝐴))
22 hlcgrex.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝐶)
2322ad4antr 767 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐵𝐶)
241, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23tgcgrneq 25278 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥𝐴)
25 hlcgrex.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐴)
2625ad4antr 767 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷𝐴)
276ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝑦𝑃)
28 hltr.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑃)
2928ad4antr 767 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷𝑃)
30 simpllr 798 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦))
3130simprd 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐴𝑦)
3231necomd 2845 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝑦𝐴)
33 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥))
3430simpld 475 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
351, 2, 3, 14, 29, 18, 27, 34tgbtwncom 25283 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝐷))
361, 3, 14, 27, 18, 17, 29, 32, 33, 35tgbtwnconn2 25371 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑥)))
3724, 26, 363jca 1240 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → (𝑥𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑥))))
38 ishlg.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
391, 3, 38, 17, 29, 18, 14ishlg 25397 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ↔ (𝑥𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑥)))))
4037, 39mpbird 247 . . . . . 6 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥(𝐾𝐴)𝐷)
4140, 19jca 554 . . . . 5 (((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))) → (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
4241ex 450 . . . 4 ((((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) ∧ 𝑥𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) → (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))))
4342reximdva 3011 . . 3 (((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) → (∃𝑥𝑃 (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) → ∃𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))))
4413, 43mpd 15 . 2 (((𝜑𝑦𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦)) → ∃𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
45 fvex 6158 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
461, 45eqeltri 2694 . . . . 5 𝑃 ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ V)
4847, 9, 11, 22nehash2 13194 . . 3 (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))
491, 2, 3, 4, 28, 7, 48tgbtwndiff 25301 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴𝑦))
5044, 49r19.29a 3071 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  hlGchlg 25395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252  df-cgrg 25306  df-hlg 25396
This theorem is referenced by:  hlcgreu  25413  trgcopy  25596  cgraswap  25612  cgracom  25614  cgratr  25615  acopy  25624  acopyeu  25625  tgasa1  25639
  Copyright terms: Public domain W3C validator