MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcomd 25394
Description: The half-line relation commutes. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlcomd (𝜑𝐵(𝐾𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlcomd
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . 2 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlcomb 25393 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐵(𝐾𝐶)𝐴))
101, 9mpbid 222 1 (𝜑𝐵(𝐾𝐶)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  Basecbs 15776  Itvcitv 25230  hlGchlg 25390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-hlg 25391
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  25407  opphllem4  25537  opphllem5  25538  opphl  25541  hlpasch  25543  lnopp2hpgb  25550  colhp  25557  cgrahl1  25603  cgrahl2  25604  cgrahl  25613  cgracol  25614  dfcgra2  25616  sacgr  25617  acopy  25619  acopyeu  25620  inaghl  25626  tgasa1  25634
  Copyright terms: Public domain W3C validator