MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcomd 26318
Description: The half-line relation commutes. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlcomd (𝜑𝐵(𝐾𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlcomd
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . 2 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlcomb 26317 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐵(𝐾𝐶)𝐴))
101, 9mpbid 233 1 (𝜑𝐵(𝐾𝐶)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cfv 6349  Basecbs 16473  Itvcitv 26150  hlGchlg 26314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-hlg 26315
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  26331  opphllem4  26464  opphllem5  26465  opphl  26468  hlpasch  26470  lnopp2hpgb  26477  colhp  26484  cgrahl1  26530  cgrahl2  26531  cgrahl  26541  cgracol  26542  dfcgra2  26544  sacgr  26545  acopy  26547  acopyeu  26548  inaghl  26559  tgasa1  26572
  Copyright terms: Public domain W3C validator