Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhgt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhgt2 36405
Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhgt4.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlhgt4.s < = (lt‘𝐾)
hlhgt4.z 0 = (0.‘𝐾)
hlhgt4.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlhgt2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   < (𝑥)   1 (𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem hlhgt2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhgt4.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlhgt4.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 hlhgt4.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 hlhgt4.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt4 36404 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )))
6 hlpos 36382 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
76ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 hlop 36378 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
101, 3op0cl 36200 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 0𝐵)
12 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑦𝐵)
13 simplr 765 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑥𝐵)
141, 2plttr 17568 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑦𝐵𝑥𝐵)) → (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
157, 11, 12, 13, 14syl13anc 1364 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
16 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
171, 4op1cl 36201 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
189, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 1𝐵)
191, 2plttr 17568 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐵1𝐵)) → ((𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
207, 13, 16, 18, 19syl13anc 1364 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
2115, 20anim12d 608 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2221rexlimdva 3281 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2322reximdva 3271 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2423rexlimdva 3281 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
255, 24mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  Posetcpo 17538  ltcplt 17539  0.cp0 17635  1.cp1 17636  OPcops 36188  HLchlt 36366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367
This theorem is referenced by:  hl0lt1N  36406  hl2at  36421
  Copyright terms: Public domain W3C validator