Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhgt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhgt2 35170
Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhgt4.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlhgt4.s < = (lt‘𝐾)
hlhgt4.z 0 = (0.‘𝐾)
hlhgt4.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlhgt2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   < (𝑥)   1 (𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem hlhgt2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhgt4.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlhgt4.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 hlhgt4.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 hlhgt4.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt4 35169 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )))
6 hlpos 35147 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
76ad3antrrr 768 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 hlop 35144 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
101, 3op0cl 34966 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 0𝐵)
12 simpllr 817 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑦𝐵)
13 simplr 809 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑥𝐵)
141, 2plttr 17163 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑦𝐵𝑥𝐵)) → (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
157, 11, 12, 13, 14syl13anc 1475 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
16 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
171, 4op1cl 34967 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
189, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 1𝐵)
191, 2plttr 17163 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐵1𝐵)) → ((𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
207, 13, 16, 18, 19syl13anc 1475 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
2115, 20anim12d 587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2221rexlimdva 3161 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2322reximdva 3147 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2423rexlimdva 3161 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
255, 24mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043   class class class wbr 4796  cfv 6041  Basecbs 16051  Posetcpo 17133  ltcplt 17134  0.cp0 17230  1.cp1 17231  OPcops 34954  HLchlt 35132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-preset 17121  df-poset 17139  df-plt 17151  df-lub 17167  df-glb 17168  df-p0 17232  df-p1 17233  df-lat 17239  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-atl 35080  df-cvlat 35104  df-hlat 35133
This theorem is referenced by:  hl0lt1N  35171  hl2at  35186
  Copyright terms: Public domain W3C validator