Theorem hlhilbase 39066

Description: The base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilbase.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
hlhilbase	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (Base‘𝑈))

Proof of Theorem hlhilbase

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hlhilbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3		hlhilbase.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hlhilbase.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐿)
5		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
9		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘𝐿)
10		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))
12		hlhilbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hlhilset 39064	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
14	13	fveq2d 6669	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
15	4	fvexi 6679	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
16		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})
17	16	phlbase 16648	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝑀 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩})))
18	15, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑀⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐿)⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠 ‘𝐿)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑀, 𝑦 ∈ 𝑀 ↦ ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑦)‘𝑥))⟩}))
19	14, 18	syl6reqr 2875	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (Base‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ∪ cun 3934  {cpr 4563  {ctp 4565  ⟨cop 4567  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ndxcnx 16474   sSet csts 16475  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  *_𝑟cstv 16561  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  ·_𝑖cip 16564  HLchlt 36480  LHypclh 37114  EDRingcedring 37883  DVecHcdvh 38208  HDMapchdma 38922  HGMapchg 39013  HLHilchlh 39062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-hlhil 39063

This theorem is referenced by:  hlhillvec  39081  hlhil0  39085  hlhillsm  39086  hlhilocv  39087  hlhillcs  39088  hlhilphllem  39089  hlhilhillem  39090