Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillcs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhillcs 36765
Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 36743 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillcs.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillcs.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
hlhillcs.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillcs.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑈)
hlhillcs.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlhillcs (𝜑𝐶 = ran 𝐼)

Proof of Theorem hlhillcs
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillcs.u . . . . . . 7 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
2 fvex 6163 . . . . . . 7 ((HLHil‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . . . 6 𝑈 ∈ V
4 eqid 2621 . . . . . . 7 (ocv‘𝑈) = (ocv‘𝑈)
5 hlhillcs.c . . . . . . 7 𝐶 = (CSubSp‘𝑈)
64, 5iscss 19959 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (𝑥𝐶𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
73, 6mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐶𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
87biimpa 501 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)))
9 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
109, 5cssss 19961 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥 ⊆ (Base‘𝑈))
11 hlhillcs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 hlhillcs.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13 eqid 2621 . . . . . . 7 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
15 eqid 2621 . . . . . . 7 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
16 hlhillcs.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1811, 1, 16, 13, 14hlhilbase 36743 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
1918sseq2d 3617 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)))
2019biimpar 502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
2111, 12, 13, 14, 15, 17, 20dochoccl 36173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
22 eqcom 2628 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) ↔ ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥)
2311, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 20hlhilocv 36764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
2423fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
2511, 13, 14, 15dochssv 36159 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
2617, 20, 25syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
2711, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 26hlhilocv 36764 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
2824, 27eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
2928eqeq1d 2623 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
3022, 29syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
3121, 30bitr4d 271 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝑥 ∈ ran 𝐼𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
3210, 31sylan2 491 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ran 𝐼𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
338, 32mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
34 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ ran 𝐼)
3516adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3611, 13, 12, 14dihrnss 36082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
3716, 36sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
3811, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 37hlhilocv 36764 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘𝑥) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
3938fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4035, 37, 25syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
4111, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 40hlhilocv 36764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4239, 41eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4342eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → (((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
4443biimpar 502 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥) → ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)) = 𝑥)
4544eqcomd 2627 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥) → 𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥)))
4645ex 450 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
4711, 12, 13, 14, 15, 35, 37dochoccl 36173 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 ↔ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) = 𝑥))
483, 6mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥𝐶𝑥 = ((ocv‘𝑈)‘((ocv‘𝑈)‘𝑥))))
4946, 47, 483imtr4d 283 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝑥 ∈ ran 𝐼𝑥𝐶))
5034, 49mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥𝐶)
5133, 50impbida 876 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝑥 ∈ ran 𝐼))
5251eqrdv 2619 1 (𝜑𝐶 = ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  ran crn 5080  cfv 5852  Basecbs 15792  ocvcocv 19936  CSubSpccss 19937  HLchlt 34152  LHypclh 34785  DVecHcdvh 35882  DIsoHcdih 36032  ocHcoch 36151  HLHilchlh 36739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-riotaBAD 33754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-0g 16034  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-subg 17523  df-cntz 17682  df-oppg 17708  df-lsm 17983  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-drng 18681  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-lvec 19035  df-ocv 19939  df-css 19940  df-lsatoms 33778  df-lshyp 33779  df-lcv 33821  df-lfl 33860  df-lkr 33888  df-ldual 33926  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961  df-tgrp 35546  df-tendo 35558  df-edring 35560  df-dveca 35806  df-disoa 35833  df-dvech 35883  df-dib 35943  df-dic 35977  df-dih 36033  df-doch 36152  df-djh 36199  df-lcdual 36391  df-mapd 36429  df-hvmap 36561  df-hdmap1 36598  df-hdmap 36599  df-hlhil 36740
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  36767
  Copyright terms: Public domain W3C validator